1. Introduction

上一讲把”理解算子”化归为”把空间拆成 $T$ 保持的小块”，并找到了最小的非平凡小块，即一维不变子空间，由此得到特征值与特征向量。但上一讲留下一个关键问题没有回答：

特征值一定存在吗？

例子 5.9 的 $90^\circ$ 旋转说明答案依赖于域。在 $\mathbf{R}$ 上它可以没有特征值，在 $\mathbf{C}$ 上有一对。本讲要把这件事做成定理，并顺着它走到一个更强的结论，即复空间上每个算子都有上三角矩阵。

有限维空间上算子特征值的存在性，以往都需要用行列式来证（例如”特征多项式 $\det(\lambda I - T)$ 必有根”）。Axler 不喜欢这种做法，他给出了一个完全不用行列式的证明。题外话：本书的前身可以认为是期刊上的一篇文章，Title 就是 “Down with Determinants”，意思是“打倒行列式”。

本讲的重心就落在这个证明上。围绕它，本讲还会做三件事：

1. 引入多项式作用于算子，因为上述证明的核心工具是”把多项式里的 $z$ 换成 $T$”；
2. 引入极小多项式，它是某个算子最经济的零化多项式，其零点恰好是特征值；
3. 用这些工具证明上三角矩阵的存在性，这是”能拆到多细”的第二种答案。

2. 不用行列式地证明特征值存在

2.1 证明的构造

把证明的思路先完整走一遍。

假设算子 $T$ 定义在 $\mathcal{L}(V)$ 中，$\dim V = n > 0$。

第一步：找一个向量，构造一串像。 随便取 $v \in V$ 且 $v \neq 0$，构造 $n+1$ 个向量：

$$v,\ Tv,\ T^2v,\ T^3v,\ \dots,\ T^nv.$$

第二步：这串向量必然线性相关。 因为它的个数 $n+1$ 超过了 $\dim V = n$，由 lecture 3 的 定理 2.22，它一定是线性相关的。也就是说，存在不全为零的 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 使

$$a_0v + a_1Tv + \dots + a_nT^nv = 0. \tag{5.19\text{-}1}$$

第三步：用这组系数造一个多项式。 考虑同样以 $a_i$ 为系数的多项式

$$p(z) = a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n.$$

按多项式作用于算子的定义（下一节会正式给出），$(5.19\text{-}1)$ 恰好可以写成

$$p(T)v = 0.$$

第四步：用代数基本定理分解。 由 定理 4.13（代数基本定理第二版），$p$ 可以分解成一次因式的乘积

$$p(z) = c(z - \lambda_1)(z - \lambda_2)\cdots(z - \lambda_m).$$

第五步：至少一个因式”打中”了某个非零向量。 把分解代回 $p(T)v = 0$，得

$$c(T - \lambda_1I)(T - \lambda_2I)\cdots(T - \lambda_mI)v = 0.$$

现在令

$$v_m = v, \qquad v_{j-1} = (T - \lambda_jI)v_j \qquad (j = m, m-1, \dots, 1).$$

则 $v_0 = p(T)v/c = 0$，而 $v_m = v \neq 0$。从 $v_m \neq 0$ 走到 $v_0 = 0$，中间必有一步是”从非零跳到零”，即存在某个 $j$ 使 $v_j \neq 0$ 而 $v_{j-1} = 0$。而

$$v_{j-1} = (T - \lambda_jI)v_j = 0 \quad\Longrightarrow\quad Tv_j = \lambda_jv_j,$$

故 $\lambda_j$ 是 $T$ 的特征值。$\blacksquare$

2.2 这个证明为什么”不用行列式”

值得停下来比较一下两种证明的差别。

	行列式路线	Axler 路线
考察对象	$\det(\lambda I - T)$ 作为一个多项式	$v, Tv, \dots, T^nv$ 这串具体的向量
用到的关键事实	行列式的性质 $+$ 代数基本定理	维数（$n+1 > n$ 必线性相关）$+$ 代数基本定理
额外假设	需要先把行列式理论建起来	只需要 lecture 3 的”线性无关列表长度不超过维数”
证明出什么	特征多项式的根是特征值	直接得到特征向量

最本质的差别在第一步：行列式路线先在”矩阵”这一侧造出一个多项式，再去解它；Axler 路线则在”向量”这一侧造出一个多项式，而这个多项式的来源极其朴素——只是维数不够用。

这也解释了为什么本讲的证明必须假设 $\dim V < \infty$：$n+1$ 个向量必线性相关这件事，靠的就是维数有限。下面的 例子 5.20 说明这个假设不能删。

需要注意的一点：第 2.1 节的论证其实可以直接跑通，不需要 $p$ 的”最小性”。但教材的做法略有不同，它取次数最小的那个 $p$（即极小多项式的”向量版”），这样就能直接断言 $q(T)v \neq 0$，一步得到特征向量。两种写法下面都给出。

2.3 Theorem: existence of eigenvalues (5.19)

Theorem 5.19 (existence of eigenvalues)
设 $V$ 是有限维非零复向量空间。则 $V$ 上的每个算子都有特征值。

证明（教材写法，用”次数最小的零化多项式”）：

设 $\dim V = n > 0$，$T \in \mathcal{L}(V)$，取 $v \in V$ 且 $v \neq 0$。

第一步：存在非常数的零化多项式。 由 2.1 节第二、三步，存在非常数多项式 $p$ 使 $p(T)v = 0$。在所有满足 $p(T)v = 0$ 的多项式中，取次数最小的一个（存在性由”非负整数集的非空子集有最小元”保证），并把它除以首项系数使其首一。

第二步：$p$ 有零点。 由 定理 4.12（代数基本定理第一版），非常数的复系数多项式 $p$ 有零点 $\lambda \in \mathbf{C}$。

第三步：分解出一次因式。 由 lecture 11 的 定理 4.6，存在多项式 $q \in \mathcal{P}(\mathbf{C})$ 使

$$p(z) = (z - \lambda)q(z)$$

对一切 $z \in \mathbf{C}$ 成立。

第四步：$q(T)v$ 就是特征向量。 由 定理 5.17（见 3.4 节），

$$0 = p(T)v = (T - \lambda I)\big(q(T)v\big).$$

而 $q(T)v \neq 0$：因为 $\deg q = \deg p - 1 < \deg p$，而 $p$ 是使 $p(T)v = 0$ 的次数最小的多项式，所以 $q(T)v$ 不可能为零。

令 $w = q(T)v$，则 $w \neq 0$ 且 $(T - \lambda I)w = 0$，即 $Tw = \lambda w$。故 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值。$\blacksquare$

两个假设都不能删：

• $\mathbf{C}$ 不能换成 $\mathbf{R}$：因为第二步用了代数基本定理。$90^\circ$ 旋转就是反例（例子 5.9）。
• 有限维不能删：因为第一步用了”$n+1$ 个向量必线性相关”。下面的例子是反例。

2.4 Example: an operator on a complex vector space with no eigenvalues (5.20)

Example 5.20 (an operator on a complex vector space with no eigenvalues)
定义 $T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbf{C}))$ 为

$$(Tp)(z) = z\,p(z).$$

若 $p \in \mathcal{P}(\mathbf{C})$ 是非零多项式，则 $Tp$ 的次数比 $p$ 的次数大 $1$，故 $Tp$ 不可能等于 $p$ 的标量倍数。比较次数即可看出：左端的次数是 $\deg p + 1$，右端在标量非零时次数是 $\deg p$，在标量为零时是零多项式。因此 $T$ 没有特征值。

因为 $\mathcal{P}(\mathbf{C})$ 是无限维的，这个例子不与 定理 5.19 冲突。

这个例子的教训：乘 $z$ 是一个极简单的算子，却完全没有特征值。原因不在域，而在无限维。所以 定理 5.19 的两个假设都是实质性的。

3. Polynomials Applied to Operators (多项式作用于算子)

上一节的证明用到了两样东西，即”$p(T)v$ 有意义”与”$q(T)$ 也是算子”。这需要把”多项式作用于算子”讲清楚。这也是算子理论比一般线性映射理论丰富的主要原因，即算子可以取幂。

3.1 Notation: $T^m$ (5.13)

Notation 5.13 ($T^m$)
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$m$ 是正整数。

• $T^m \in \mathcal{L}(V)$ 定义为 $T^m = \underbrace{T \cdots T}_{m \text{ 次}}$；
• $T^0$ 定义为 $V$ 上的恒等算子 $I$；
• 若 $T$ 可逆，逆为 $T^{-1}$，则 $T^{-m} \in \mathcal{L}(V)$ 定义为 $T^{-m} = (T^{-1})^m$。

请验证：若 $T$ 是算子，则

$$T^mT^n = T^{m+n}, \qquad (T^m)^n = T^{mn},$$

其中 $m, n$ 在 $T$ 可逆时可为任意整数，否则只能为非负整数。

这几个等式只用到复合的结合律，不需要任何交换性。例如 $T^2T^3 = (TT)(TTT) = T^5$。注意不能反过来推广：对另一个算子 $S$，一般没有 $(TS)^2 = T^2S^2$，因为复合不交换（lecture 7 的 例子 3.9）。

3.2 Notation: $p(T)$ (5.14)

Notation 5.14 ($p(T)$)
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ 由

$$p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots + a_mz^m$$

给出。则 $p(T)$ 是 $V$ 上的如下算子：

$$p(T) = a_0I + a_1T + a_2T^2 + \dots + a_mT^m.$$

这里 $p$ 有了一次新的用法，因为我们在把 $p$ 作用于算子，而不只是作用于 $\mathbf{F}$ 的元素。要算 $p(T)$，把定义 $p$ 的表达式里的 $z$ 换成 $T$ 即可。

注意常数项的处理：$a_0$ 变成了算子 $a_0I$，而不是数 $a_0$。这不是任意规定。在 $p(z)$ 里 $a_0 = a_0z^0$，按”把 $z$ 换成 $T$“的规则应换成 $a_0T^0 = a_0I$。若写成 $a_0$，那就是”数与算子相加”，没有定义。

Example 5.15
设 $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbf{R}))$ 是求导算子 $Dq = q'$，$p(x) = 7 - 3x + 5x^2$。则 $p(D) = 7I - 3D + 5D^2$，于是

$$(p(D))q = 7q - 3q' + 5q''$$

对每个 $q \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$ 成立。

这个例子把”求导、求二阶导、再作线性组合”打包成一个算子。 而”解线性微分方程”在某种意义上就是”求 $p(D)$ 的零空间”，这个视角在后面会反复出现。

一个附带的事实：固定 $T$ 后，映射 $p \mapsto p(T)$ 从 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 到 $\mathcal{L}(V)$ 是线性的。这直接由定义读出。

3.3 Definition: product of polynomials (5.16)

Definition 5.16 (product of polynomials)
若 $p, q \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$，则 $pq \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ 定义为

$$(pq)(z) = p(z)q(z)$$

对一切 $z \in \mathbf{F}$ 成立。

为什么需要它？ 因为 lecture 11 只把多项式当函数，而函数有”逐点相乘”。现在要把它翻译到算子层面，即问 $(pq)(T)$ 与 $p(T)q(T)$ 是什么关系。下一节回答这个问题，而这个答案正是 2.3 节第四步所用的。

3.4 Theorem: multiplicative properties (5.17)

Theorem 5.17 (multiplicative properties)
设 $p, q \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$，$T \in \mathcal{L}(V)$。则

• (a) $(pq)(T) = p(T)q(T)$；
• (b) $p(T)q(T) = q(T)p(T)$。

直观说明：把 $pq$ 用分配律展开，无论符号是 $z$ 还是 $T$，展开形式都一样；而 $z$ 之间可交换，$T$ 的幂之间也可交换（都是同一个 $T$ 的幂）。

证明：设 $p(z) = \sum_{j=0}^m a_jz^j$、$q(z) = \sum_{k=0}^n b_kz^k$。则

$$(pq)(z) = \sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n} a_jb_kz^{j+k},$$

故

$$(pq)(T) = \sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n} a_jb_kT^{j+k} = \Big(\sum_{j=0}^{m}a_jT^j\Big)\Big(\sum_{k=0}^{n}b_kT^k\Big) = p(T)q(T).$$

(b) 用 (a) 两次：

$$p(T)q(T) = (pq)(T) = (qp)(T) = q(T)p(T),$$

中间一步用的是多项式乘法可交换（$pq = qp$）。$\blacksquare$

这条定理的地位很高。[定理 5.17(b)] 说明同一个算子的两个多项式总可以交换，尽管一般算子乘法不可交换。这个”局部可交换性”是后面许多论证的技术前提，例如 2.3 节把 $(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)$ 随意重排，以及 5.5 节证明 $T$ 与 $p(T)$ 可交换。

一个警告：不要推广到”任意两个算子”。$S$ 与 $T$ 未必可交换，而 $p(T)$ 与 $q(T)$ 一定可交换，因为它们都是同一个 $T$ 的多项式。

3.5 Theorem: null space and range of $p(T)$ are invariant (5.18)

上一讲知道 $\text{null } T$ 与 $\text{range } T$ 在 $T$ 下不变。现在可以把 $T$ 换成任意多项式。

Theorem 5.18 (null space and range of $p(T)$ are invariant under $T$)
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$。则 $\text{null } p(T)$ 与 $\text{range } p(T)$ 都在 $T$ 下不变。

证明：

$\text{null } p(T)$。设 $u \in \text{null } p(T)$。由 [定理 5.17(b)]，$T$ 与 $p(T)$ 可交换，故

$$p(T)(Tu) = \big(p(T)T\big)u = \big(Tp(T)\big)u = T\big(p(T)u\big) = T(0) = 0,$$

即 $Tu \in \text{null } p(T)$。

$\text{range } p(T)$。设 $u = p(T)v \in \text{range } p(T)$。则

$$Tu = T\big(p(T)v\big) = p(T)(Tv) \in \text{range } p(T). \qquad\blacksquare$$

为什么这条定理重要？ 因为它给出了大量生产不变子空间的方法：取不同的 $p$，$\text{null } p(T)$ 就给出不同的不变子空间。而 2.3 节的证明正是这个构造的特例（取 $p$ 使 $p(T)v = 0$），5.7 节的归纳证明也要靠它（取 $p(z) = z - \lambda$）。

4. The Minimal Polynomial (极小多项式)

4.1 引入：对整个算子零化的多项式

2.3 节对一个向量 $v$ 找到了零化多项式。现在问：对整个算子 $T$，有没有一个多项式 $p$ 使 $p(T) = 0$（即 $p(T)$ 是零算子）？

答案是有，而且唯一。这个多项式是本节的主角，在 lecture 14 会成为判断可对角化的唯一工具。

4.2 Definition: monic polynomial (5.21)

Definition 5.21 (monic polynomial)
首一多项式 (monic polynomial) 是最高次项系数等于 $1$ 的多项式。

例如 $2 + 9z^2 + z^7$ 是一个 $7$ 次首一多项式。

为什么要”首一”？ 因为若允许任意系数，“最低次的零化多项式”就不唯一，若 $p(T) = 0$ 则 $2p(T) = 0$ 也是。要求首一，就把这个标量自由度固定，唯一性才可能出现。

4.3 Theorem: existence, uniqueness, degree of minimal polynomial (5.22)

Theorem 5.22 (existence, uniqueness, and degree of minimal polynomial)
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。则存在唯一的首一多项式 $p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$，它在使 $p(T) = 0$ 的首一多项式中次数最小。进一步，$\deg p \le \dim V$。

证明思路：

存在性（对 $\dim V$ 归纳）。若 $\dim V = 0$，则 $I$ 是零算子，取 $p = 1$。

设 $\dim V > 0$，取 $u \neq 0$。列表 $u, Tu, \dots, T^{\dim V}u$ 长度为 $1 + \dim V$，故线性相关。于是存在最小的正整数 $m \le \dim V$ 使 $T^mu$ 是 $u, Tu, \dots, T^{m-1}u$ 的线性组合，即存在 $c_0, \dots, c_{m-1}$ 使

$$c_0u + c_1Tu + \dots + c_{m-1}T^{m-1}u + T^mu = 0. \tag{5.23}$$

令 $q(z) = c_0 + c_1z + \dots + c_{m-1}z^{m-1} + z^m$（首一），则 $q(T)u = 0$。

这个 $q$ 不只把 $u$ 映到0：对任意非负整数 $k$，

$$q(T)(T^ku) = T^k\big(q(T)u\big) = 0,$$

这里用到 $T^k$ 与 $q(T)$ 可交换（定理 5.17(b)）。而 $u, Tu, \dots, T^{m-1}u$ 线性无关（由 $m$ 的最小性），故

$$\dim \text{null } q(T) \ge m, \qquad\text{从而由基本定理}\qquad \dim \text{range } q(T) \le \dim V - m.$$

现在把归纳假设用到限制算子上。由 定理 5.18，$\text{range } q(T)$ 在 $T$ 下不变，故 $T|_{\text{range } q(T)}$ 是更小空间上的算子。由归纳假设，存在首一多项式 $s$ 使

$$\deg s \le \dim V - m, \qquad s\big(T|_{\text{range } q(T)}\big) = 0.$$

于是对任意 $v \in V$，

$$\big((sq)(T)\big)v = s(T)\big(q(T)v\big) = 0,$$

因为 $q(T)v$ 落在 $\text{range } q(T)$ 里，而 $s(T)$ 在那里为零。故 $sq$ 是次数不超过 $\dim V$ 的首一零化多项式。

这一步的因果很重要：它把”次数不超过 $\dim V$“拆成了 $m + (\dim V - m)$ 两部分，$m$ 来自”$u$ 的链条”，$\dim V - m$ 来自”值域上的归纳”。这解释了为什么证明需要归纳而不只是线性相关。

既然存在次数 $\le \dim V$ 的首一零化多项式，其中必有次数最小者。

唯一性。设 $p$ 是次数最小的首一零化多项式，$r$ 是同次的首一零化多项式。则 $(p-r)(T) = 0$ 且 $\deg(p-r) < \deg p$。若 $p - r \neq 0$，把 $p-r$ 除以其首项系数就得到一个次数更小的首一零化多项式，矛盾。故 $p = r$。$\blacksquare$

证明结构值得记下来：对维数归纳 $+$ 用一个向量开出链条 $+$ 在值域上继续归纳。同一套结构在 定理 5.44 与 lecture 14 的 定理 5.62 里会再次出现。

4.4 Definition: minimal polynomial (5.24)

Definition 5.24 (minimal polynomial)
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。则 $T$ 的极小多项式 (minimal polynomial) 是使 $p(T) = 0$ 的次数最小的唯一首一多项式。

怎么算？ 定义只给刻画，不给算法。实用办法有两个。

慢办法：找最小的 $m$ 使

$$c_0I + c_1T + \dots + c_{m-1}T^{m-1} = -T^m$$

有解。选一组基换成矩阵后，这是 $m$ 个未知量、$(\dim V)^2$ 个方程的线性方程组。

快办法：取 $v \neq 0$，解

$$c_0v + c_1Tv + \dots + c_{\dim V-1}T^{\dim V-1}v = -T^{\dim V}v.$$

这只有 $\dim V$ 个未知量与 $\dim V$ 个方程。若它有唯一解（多数情况如此），则由 定理 5.22（次数 $\le \dim V$），$c_0, \dots, c_{\dim V-1}, 1$ 就是极小多项式的系数。

快办法为什么常常有效？ 它实际上在求”$v$ 的零化多项式”。若 $v$ 的零化多项式恰好等于 $T$ 的极小多项式（这样的 $v$ 称为循环向量），两者一致。Axler 给了一个有趣的统计：对 $\mathbf{R}^4$ 上整数元素在 $[-10,10]$ 内的矩阵，快办法的成功率超过 $99.8\%$；区间换成 $[-100,100]$ 则超过 $99.999\%$。

4.5 Example: minimal polynomial of an operator on $\mathbf{F}^5$ (5.26)

Example 5.26
设 $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^5)$ 关于标准基 $e_1, \dots, e_5$ 的矩阵是

$$\mathcal{M}(T) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$$

取 $v = e_1$，按快办法：

$$Te_1 = e_2, \quad T^2e_1 = e_3, \quad T^3e_1 = e_4, \quad T^4e_1 = e_5, \quad T^5e_1 = -3e_1 + 6e_2$$

（最后一步来自第五列 $Te_5 = -3e_1 + 6e_2$）。于是

$$3e_1 - 6Te_1 = -T^5e_1, \quad\text{即}\quad 3e_1 - 6Te_1 + T^5e_1 = 0.$$

而 $e_1, Te_1, \dots, T^4e_1$ 就是 $e_1, \dots, e_5$，线性无关，故没有别的组合等于 $-T^5e_1$。因此极小多项式是

$$3 - 6z + z^5.$$

这个例子的价值：它给出一个 5 次多项式。而五次及以上的多项式一般没有求根公式（Abel–Ruffini）。由下一节的定理，它的零点恰好是 $T$ 的特征值，于是得到：

存在这样的算子，它的特征值无法用任何熟悉的表达式写出。

这不是我们不够聪明，而是问题的本质。这也解释了为什么教材讨论特征值时会反复强调”没有精确计算的方法，但有很好的数值方法”。

4.6 Theorem: eigenvalues are the zeros of the minimal polynomial (5.27)

Theorem 5.27 (eigenvalues are the zeros of the minimal polynomial)
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。

• (a) $T$ 的极小多项式的零点恰好是 $T$ 的特征值；
• (b) 若 $V$ 是复空间，则极小多项式形如 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是 $T$ 的全部特征值（允许重复）。

证明：设 $p$ 是极小多项式。

(a) 零点 $\Rightarrow$ 特征值。 设 $\lambda \in \mathbf{F}$ 是 $p$ 的零点。由 lecture 11 的 定理 4.6，

$$p(z) = (z-\lambda)q(z),$$

其中 $q$ 是首一多项式，且 $\deg q = \deg p - 1$。因为 $\deg q$ 比 $\deg p$ 小，而 $p$ 极小，故 $q(T) \neq 0$，于是存在 $v \in V$ 使

$$w := q(T)v \neq 0.$$

由 $p(T) = 0$，

$$0 = p(T)v = (T - \lambda I)\big(q(T)v\big) = (T-\lambda I)w,$$

故 $Tw = \lambda w$ 而 $w \neq 0$，即 $\lambda$ 是特征值。

(a) 特征值 $\Rightarrow$ 零点。 设 $Tv = \lambda v$，$v \neq 0$。由 $T^kv = \lambda^kv$ 得 $q(T)v = q(\lambda)v$ 对任意多项式 $q$ 成立。取 $q = p$：

$$p(\lambda)v = p(T)v = 0,$$

故 $p(\lambda) = 0$。

(b) 由 (a) 与代数基本定理第二版（定理 4.13）即得。$\blacksquare$

这条定理的地位：它把”求特征值”这个算子问题完全转化为”求多项式零点”这个代数问题，而且转化是等价的。于是 lecture 11 关于零点的一切结论都可以搬过来：

• 特征值个数 $\le \dim V$（定理 5.12 的第二个证明）：极小多项式次数 $\le \dim V$，而零点个数不超过次数（定理 4.8）。
• 特征值存在性（定理 5.19 的另一个证明）：$\mathbf{C}$ 上极小多项式总能分解，故总有零点，故总有特征值。
• 不可精确计算性：例子 5.26 的极小多项式 $3 - 6z + z^5$ 没有求根公式。

4.7 Theorem: $q(T) = 0$ iff $q$ is a multiple of the minimal polynomial (5.29)

Theorem 5.29
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$，$q \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$。则

$$q(T) = 0 \iff q \text{ 是 } T \text{ 的极小多项式的多项式倍}.$$

证明：设 $p$ 是极小多项式。

（$\Longrightarrow$） 设 $q(T) = 0$。由多项式带余除法（定理 4.9），存在 $s, r$ 使

$$q = ps + r, \qquad \deg r < \deg p. \tag{5.30}$$

于是 $0 = q(T) = p(T)s(T) + r(T) = r(T)$。若 $r \neq 0$，把 $r$ 除以其首项系数就得到次数更小的首一零化多项式，与 $p$ 的最小性矛盾。故 $r = 0$，即 $q = ps$。

（$\Longleftarrow$） 设 $q = ps$。由 [定理 5.17(a)]，$q(T) = p(T)s(T) = 0$。$\blacksquare$

这条定理是极小多项式的”万能钥匙”：判定一个多项式是否零化，只需看它能否被极小多项式整除。 于是"$q(T) = 0$"这类问题不必真的算 $q(T)$，只需做一次多项式除法。

这也解释了”极小”二字的含义：它是所有零化多项式的”最小公因子”，全体零化多项式恰好是它的倍数集合。

4.8 Theorem: minimal polynomial of a restriction (5.31)

Theorem 5.31 (minimal polynomial of a restriction operator)
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$，$U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间。则 $T$ 的极小多项式是 $T|_U$ 的极小多项式的多项式倍。

证明：设 $p$ 是 $T$ 的极小多项式，则 $p(T) = 0$，特别地 $p(T)u = 0$ 对一切 $u \in U$。而 $u \in U$ 时 $Tu \in U$，故 $p(T)u = p(T|_U)u$，于是 $p(T|_U) = 0$。由 定理 5.29 应用于算子 $T|_U$，$p$ 是 $T|_U$ 的极小多项式的倍数。$\blacksquare$

解读：限制之后零化多项式只会变简单，不会变复杂。 这与直觉一致：$T|_U$ 只知道 $T$ 在 $U$ 上的行为，所以满足它的多项式应该更少、次数更小。

4.9 Theorem: invertibility and the constant term (5.32)

Theorem 5.32
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。则 $T$ 不可逆当且仅当 $T$ 的极小多项式的常数项为 $0$。

证明：

$$\begin{aligned} T \text{ 不可逆} &\iff 0 \text{ 是 } T \text{ 的特征值} &&\text{（由 5.7：} T - 0I \text{ 不可逆}）\\ &\iff 0 \text{ 是极小多项式的零点} &&\text{（由 5.27(a)）}\\ &\iff \text{极小多项式的常数项为 } 0 &&\text{（常数项即 } p(0)） \end{aligned}$$

$\blacksquare$

为什么值得单独列出？ 因为它给出一个纯代数的可逆性判据：不必求逆、不必算行列式，只看极小多项式的常数项是否为零。而常数项等于所有根的乘积，所以这条定理也可以读成”$T$ 的特征值中没有 $0$“。

5. Eigenvalues on Odd-Dimensional Real Vector Spaces (奇数维实空间上的特征值)

5.1 引入：$\mathbf{R}$ 上能走多远

定理 5.19 说 $\mathbf{C}$ 上的算子一定有特征值。在 $\mathbf{R}$ 上，$90^\circ$ 旋转表明这不成立。但若维数是奇数呢？

直觉上应该有希望：实的特征多项式是奇次多项式，而奇次实多项式必有实零点（lecture 11 习题 4.7）。不过下面的证明不走特征多项式（那个工具要到 Chapter 8 才有），而是用极小多项式的分解性质。

这两条定理合起来给出结果，而证明用到一个漂亮的技巧，即用”偶数维”去卡”奇数维”。

5.2 Theorem: even-dimensional null space (5.33)

Theorem 5.33 (even-dimensional null space)
设 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$，$V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$，$b, c \in \mathbf{R}$ 满足 $b^2 < 4c$。则 $\dim \text{null}(T^2 + bT + cI)$ 是偶数。

证明：记 $N = \text{null}(T^2 + bT + cI)$。由 定理 5.18（取 $p(z) = z^2+bz+c$），$N$ 在 $T$ 下不变，故可把问题化归到 $N$ 上：把 $V$ 换成 $N$、$T$ 换成 $T|_N$，条件变成

$$T^2 + bT + cI = 0 \quad\text{在 } N \text{ 上成立},$$

要证 $\dim N$ 是偶数。

第一步：$T$ 在 $N$ 上没有特征向量。 设 $\lambda \in \mathbf{R}$、$v \in N$ 满足 $Tv = \lambda v$。则

$$0 = (T^2+bT+cI)v = (\lambda^2+b\lambda+c)v = \Big[\Big(\lambda+\frac{b}{2}\Big)^2 + c - \frac{b^2}{4}\Big]v.$$

方括号里是正数（$c - b^2/4 > 0$，而平方项 $\ge 0$），故 $v = 0$。所以 $N$ 上的 $T$ 没有特征向量。

第二步：取最大的偶数维不变子空间。 在 $N$ 的所有偶数维不变子空间中取维数最大者，记作 $U$。若 $U = N$ 则证完，故设存在 $w \in N$ 且 $w \notin U$。令

$$W = \text{span}(w, Tw).$$

• $W$ 不变：由 $T^2 = -bT - cI$， $$T(Tw) = T^2w = -b\,Tw - c\,w \in W.$$
• $\dim W = 2$：若 $\dim W = 1$，则 $Tw = \lambda w$，$w$ 是特征向量，与第一步矛盾。
• $U \cap W = \{0\}$：否则交集是一维不变子空间（$U$ 与 $W$ 都不变），给出特征向量，矛盾。

第三步：得到更大的偶数维不变子空间。 由 $U \cap W = \{0\}$，

$$\dim(U+W) = \dim U + \dim W = \dim U + 2,$$

而 $U + W$ 不变且维数是偶数、比 $\dim U$ 大 $2$——与 $U$ 的最大性矛盾。故 $U = N$，$\dim N$ 是偶数。$\blacksquare$

手法值得注意：“取最大的偶数维不变子空间 $+$ 再加一个二维块”。这是典型的极值论证，与 lecture 4 中”线性无关列表可以扩充为基”同源：不是一步步搭起来，而是取极值对象再证明它不能不是全部。

5.3 Theorem: operators on odd-dimensional spaces have eigenvalues (5.34)

Theorem 5.34
奇数维向量空间上的每个算子都有特征值。

证明：$\mathbf{C}$ 的情形由 定理 5.19 直接得到（不需要奇数维），故只需考虑 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$。设 $\dim V = n$ 为奇数，对 $n$ 以步长 $2$ 归纳。

$n = 1$：一维空间上的算子就是数乘，每个非零向量都是特征向量。

归纳步：设 $n \ge 3$ 且结论对所有更小的奇数维空间成立。设 $p$ 是 $T$ 的极小多项式。

• 若 $p$ 是某个 $z-\lambda$（$\lambda \in \mathbf{R}$）的倍数，则由 定理 5.27(a)，$\lambda$ 是特征值，证完。
• 否则，由 lecture 11 的 定理 4.16（实多项式的分解），$p$ 必有某个满足 $b^2 < 4c$ 的不可约二次因式 $z^2+bz+c$。于是存在首一多项式 $q$ 使 $$p(z) = q(z)(z^2+bz+c).$$

由 [定理 5.17(a)]，

$$0 = p(T) = q(T)\big(T^2+bT+cI\big).$$

记 $R = \text{range}(T^2+bT+cI)$。由上式，$q(T)$ 在 $R$ 上为零：对 $u = (T^2+bT+cI)v \in R$，

$$q(T)u = q(T)(T^2+bT+cI)v = p(T)v = 0.$$

于是 $q$ 是 $T|_R$ 的零化多项式，而 $\deg q < \deg p$。因为 $p$ 是极小多项式，这说明 $R \neq V$（若 $R = V$，则 $q(T) = 0$，$q$ 就成了次数更小的零化多项式）。

由基本定理（定理 3.21），

$$\dim V = \dim\text{null}(T^2+bT+cI) + \dim R.$$

由 定理 5.33，第一项是偶数；而 $\dim V$ 是奇数，故 $\dim R$ 是奇数。

又由 定理 5.18，$R$ 在 $T$ 下不变，故 $T|_R$ 是 $R$ 上的算子。而 $\dim R$ 是奇数且 $\dim R < \dim V$，由归纳假设 $T|_R$ 有特征值，于是 $T$ 有特征值。$\blacksquare$

证明的骨架：

$$\underbrace{\text{极小多项式分解出 } z^2+bz+c}_{b^2<4c}\ \Longrightarrow\ \underbrace{R=\text{range}(T^2+bT+cI)}_{\text{不变，且 } \dim R<\dim V}\ \Longrightarrow\ \underbrace{\dim R \text{ 为奇数}}_{n\text{ 奇，零空间偶}}\ \Longrightarrow\ \text{归纳}.$$

巧妙之处是它同时做到了”降维”与”保持奇偶性”。 若直接取 $\text{null}(T-\lambda I)$ 来降维，就得先知道有 $\lambda$（正是要证的）；而取 $R = \text{range}(T^2+bT+cI)$ 不需要任何特征值，而 定理 5.33 保证零空间是偶数维，于是值域自动是奇数维。“偶数”这个结论就是为这一处服务的。

6. Upper-Triangular Matrices (上三角矩阵)

6.1 引入：能拆到多细

本章最初的问题是”把 $V$ 拆成 $T$ 保持的小块”。一维小块最理想（对应对角矩阵），但 例子 5.9 说明不一定存在。

于是退一步问：能不能拆成一串嵌套的子空间？ 即找基 $v_1, \dots, v_n$ 使对每个 $k$，

$$\text{span}(v_1, \dots, v_k) \text{ 在 } T \text{ 下不变}.$$

这种”逐层扩张”的分解比”直和分解成一维块”弱，但它总是可以做到（至少在 $\mathbf{C}$ 上），而它对应的矩阵形式就是上三角矩阵。

为什么上三角算”简单”？ 因为 $n$ 阶上三角矩阵至少有一半元素强制为零，而且它的对角元恰好给出全部特征值（定理 5.41），这在计算上是极大便利。

6.2 Definition: matrix of an operator (5.35)

Definition 5.35 (matrix of an operator, $\mathcal{M}(T)$)
设 $T \in \mathcal{L}(V)$。$T$ 关于基 $v_1, \dots, v_n$ 的矩阵是 $n$-by-$n$ 矩阵

$$\mathcal{M}(T) = \begin{pmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n}\end{pmatrix},$$

其元素 $A_{j,k}$ 由 $Tv_k = A_{1,k}v_1 + \dots + A_{n,k}v_n$ 定义。若基不明确，用记号 $\mathcal{M}(T, (v_1,\dots,v_n))$。

与一般线性映射的差别：算子有方阵，而不是 lecture 7 的长方形矩阵。因为定义域与陪域是同一空间、用同一组基。第 $k$ 列仍是 $Tv_k$ 的坐标，与 定义 3.31 一致。

一个约定：若 $T$ 是 $\mathbf{F}^n$ 上的算子而未指定基，则默认标准基。

Example 5.36
$T(x,y,z) = (2x+y,\ 5y+3z,\ 8z)$ 关于标准基的矩阵是

$$\mathcal{M}(T) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 5 & 3\\ 0 & 0 & 8\end{pmatrix}.$$

请验证：第一列来自 $T(1,0,0) = (2,0,0) = 2e_1$，第二列来自 $T(0,1,0) = (1,5,0) = e_1 + 5e_2$，第三列来自 $T(0,0,1) = (0,3,8) = 3e_2 + 8e_3$。

6.3 Definition: diagonal, upper-triangular matrix (5.37, 5.38)

Definition 5.37 (diagonal of a matrix)
方阵的对角线是从左上角到右下角那条线上的元素。

Definition 5.38 (upper-triangular matrix)
方阵称为上三角矩阵，如果对角线下方的元素全为 $0$。

通常写成

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 & & *\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n\end{pmatrix},$$

其中 $*$ 表示不知道或与讨论无关的元素，那个 $0$ 表示对角线下方全零。

为什么算简单？ $n$ 阶上三角矩阵至少有 $n(n-1)/2$ 个元素为零，差不多一半。这与 lecture 8 提到的”选基使矩阵尽可能简单”是同一战略，只是目前只能做到上三角，对角化要等 lecture 14。

6.4 Theorem: conditions for upper-triangular matrix (5.39)

Theorem 5.39 (conditions for upper-triangular matrix)
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基。则下列条件等价。

• (a) $T$ 关于 $v_1,\dots,v_n$ 的矩阵上三角；
• (b) $\text{span}(v_1,\dots,v_k)$ 对每个 $k$ 都在 $T$ 下不变；
• (c) $Tv_k \in \text{span}(v_1,\dots,v_k)$ 对每个 $k$ 成立。

证明：按 (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) $\Rightarrow$ (a)。

(a) $\Rightarrow$ (b)。矩阵上三角意味着 $Tv_j \in \text{span}(v_1,\dots,v_j)$。若 $j \le k$，则 $\text{span}(v_1,\dots,v_j) \subseteq \text{span}(v_1,\dots,v_k)$，故 $Tv_j \in \text{span}(v_1,\dots,v_k)$ 对 $j = 1,\dots,k$ 成立。而后者中每个元素都是 $v_1,\dots,v_k$ 的组合，由线性性其像仍在其中，故它不变。

(b) $\Rightarrow$ (c)。取 $k$，则 $v_k$ 属于 $\text{span}(v_1,\dots,v_k)$，由不变性 $Tv_k$ 也在其中。

(c) $\Rightarrow$ (a)。$Tv_k$ 只用 $v_1,\dots,v_k$ 表示，故第 $k$ 列的第 $k+1,\dots,n$ 个元素全为 $0$。对每个 $k$ 成立，即对角线下全零。$\blacksquare$

这条定理把”矩阵形状”与”子空间链”精确对应起来：

矩阵性质	子空间性质
上三角	存在递增子空间链 $\{0\} \subset \text{span}(v_1) \subset \dots \subset V$，每层不变
对角	$V$ 能写成一维不变子空间的直和（lecture 14）

所以”能上三角”弱于”能对角”，但它总是可以满足的（在 $\mathbf{C}$ 上），而对角化不行。 这解释了教材为什么先讲上三角。

6.5 Theorem: equation satisfied by operator with upper-triangular matrix (5.40)

Theorem 5.40
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$V$ 有一组基使 $T$ 的矩阵上三角，对角元为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。则

$$(T - \lambda_1I)(T - \lambda_2I)\cdots(T - \lambda_nI) = 0.$$

证明：设 $v_1,\dots,v_n$ 是那组基。由 定理 5.39(c)，

$$(T - \lambda_kI)v_k \in \text{span}(v_1,\dots,v_{k-1}) \quad (k \ge 2), \qquad (T-\lambda_1I)v_1 = 0.$$

关键是”每作用一次就下降一层”：

• $(T-\lambda_2I)v_2 \in \text{span}(v_1)$，再作用 $(T-\lambda_1I)$ 得零；
• $(T-\lambda_3I)v_3 \in \text{span}(v_1,v_2)$，而前一步说明 $(T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)$ 把 $\text{span}(v_1,v_2)$ 送零；
• 一般地，$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_kI)v_k = 0$。

再由 [定理 5.17(b)]（同一个 $T$ 的多项式可交换），可以把后面的因式移到前面，于是对每个 $k$，

$$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)v_k = 0.$$

上式对基中每个 $v_k$ 成立，故那个算子是零算子。$\blacksquare$

为什么需要 [定理 5.17(b)]？ 因为上面的论证只证明”前缀乘积”在 $v_k$ 上为零，而结论要求”全部 $n$ 个因式”按给定次序的乘积为零。要补上后面那些因式，就得把它们移到前面——而能移动，正因为它们都是 $T$ 的多项式。

6.6 Theorem: determination of eigenvalues from upper-triangular matrix (5.41)

Theorem 5.41
设 $T \in \mathcal{L}(V)$ 关于某组基有上三角矩阵。则 $T$ 的特征值恰好是对角线上的元素。

证明：设 $v_1,\dots,v_n$ 是那组基，对角元为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。

每个对角元都是特征值。 因为 $Tv_1 = \lambda_1v_1$，故 $\lambda_1$ 是特征值。

设 $k \ge 2$。则 $(T-\lambda_kI)v_k \in \text{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$，故 $T - \lambda_kI$ 把 $\text{span}(v_1,\dots,v_k)$ 映进 $\text{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$。而维数从 $k$ 降到 $k-1$，故这个限制不是单射（lecture 6 的 定理 3.22）。于是存在 $v \neq 0$ 使 $(T-\lambda_kI)v = 0$，即 $\lambda_k$ 是特征值。

没有别的特征值。 令 $q(z) = (z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_n)$。由 定理 5.40，$q(T) = 0$，故由 定理 5.29，$q$ 是极小多项式的倍数。于是极小多项式的每个零点都是 $q$ 的零点，而极小多项式的零点是特征值（定理 5.27），故每个特征值都是 $q$ 的零点，即属于 $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$。$\blacksquare$

实用价值：一旦找到使矩阵上三角的基，特征值免费得到，不必解方程。 而这个”一旦”在 $\mathbf{C}$ 上总成立。所以复算子的特征值总能通过化上三角得到——前提是能算出来，而 例子 5.26 提醒我们一般算不出来。

注意与”行阶梯形”的区别（Axler 特意提醒）：线性代数课上的行阶梯形是对方阵做初等行变换得到的，它也恰好上三角，但它与本节的”算子关于某组基的上三角矩阵”没有任何关系。前者的对角元不给特征值，后者给。

6.7 Theorem: necessary and sufficient condition for upper-triangularity (5.44)

Theorem 5.44
设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。则 $T$ 关于某组基有上三角矩阵，当且仅当 $T$ 的极小多项式等于 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$ 对某些 $\lambda_1,\dots,\lambda_m \in \mathbf{F}$ 成立。

证明：

（$\Longrightarrow$） 设矩阵上三角，对角元 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$。令 $q(z) = (z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_n)$。由 定理 5.40，$q(T) = 0$，故由 定理 5.29 $q$ 是极小多项式的倍数，于是极小多项式是 $q$ 的因式，即形如 $(z-\mu_1)\cdots(z-\mu_s)$，其中 $\{\mu_j\} \subseteq \{\alpha_k\}$。

（$\Longleftarrow$） 设极小多项式 $p(z) = (z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$。对 $m$ 归纳。

$m = 1$ 时 $p(z) = z-\lambda_1$，故 $T - \lambda_1I = 0$，即 $T = \lambda_1I$，任何基都给对角矩阵。

设 $m > 1$。取 $U = \text{range}(T - \lambda_mI)$。由 定理 5.18，$U$ 在 $T$ 下不变。对 $u \in U$，写 $u = (T-\lambda_mI)v$，则

$$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_{m-1}I)u = (T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v = p(T)v = 0.$$

故 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_{m-1})$ 是 $T|_U$ 的零化多项式，由 定理 5.29 其极小多项式整除它，故形如 $(z-\mu_1)\cdots(z-\mu_s)$（$s \le m-1$）。由归纳假设，存在 $U$ 的基 $u_1,\dots,u_M$ 使 $T|_U$ 上三角。扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_M,v_1,\dots,v_N$，则

$$Tv_k = (T-\lambda_mI)v_k + \lambda_mv_k \in \text{span}(u_1,\dots,u_M,v_1,\dots,v_k),$$

故由 定理 5.39，矩阵上三角。$\blacksquare$

实际意义：把”能否上三角化”归结为”极小多项式能否分解成一次因式”。于是在 $\mathbf{C}$ 上永远可以，而在 $\mathbf{R}$ 上只要极小多项式含不可约二次因式就不能。

6.8 Theorem: if $\mathbf{F} = \mathbf{C}$, every operator has an upper-triangular matrix (5.47)

Theorem 5.47
设 $V$ 有限维复向量空间，$T \in \mathcal{L}(V)$。则存在 $V$ 的一组基使 $T$ 关于它的矩阵上三角。

证明一（用 5.44）。由 [定理 5.27(b)]，$\mathbf{C}$ 上极小多项式总形如 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，故 定理 5.44 的条件满足。$\blacksquare$

证明二（直接归纳，更能看清结构）。对 $\dim V$ 归纳。$\dim V = 1$ 时任何基都给上三角矩阵。

设 $\dim V > 1$。由 定理 5.19，$T$ 有特征值 $\lambda$。取

$$U = \text{range}(T - \lambda I).$$

因为 $T - \lambda I$ 不满射（定理 5.7），$\dim U < \dim V$。由 定理 5.18，$U$ 在 $T$ 下不变。

由归纳假设，存在 $U$ 的基 $u_1,\dots,u_m$ 使 $T|_U$ 上三角，故由 定理 5.39，

$$Tu_j \in \text{span}(u_1,\dots,u_j) \quad (j = 1,\dots,m).$$

扩充为 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n$。对每个 $k$，

$$Tv_k = (T-\lambdaI)v_k + \lambda v_k.$$

由 $U$ 的定义，$(T-\lambda I)v_k \in U = \text{span}(u_1,\dots,u_m)$，故

$$Tv_k \in \text{span}(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_k).$$

由 定理 5.39，矩阵上三角。$\blacksquare$

证明二值得细看的地方：它取 $U = \text{range}(T-\lambda I)$ 而不是 $\text{null}(T-\lambda I)$。

• 若取 $\text{null}(T-\lambda I)$，那是特征空间，可能只有一维，降维幅度太小。
• 取 $\text{range}(T-\lambda I)$ 的好处是它维数严格小于 $\dim V$（因为 $T-\lambda I$ 不满射），而且自动在 $T$ 下不变（定理 5.18），于是可以整体交给归纳假设。

注意基的排列：$U$ 的基排在前面，补空间的基排在后面。这样 $U$ 的不变性体现为矩阵左上角的块，而对角线下方为零。

6.9 Example: whether $T$ has an upper-triangular matrix can depend on $\mathbf{F}$ (5.43)

Example 5.43
定义 $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^4)$ 为

$$T(z_1,z_2,z_3,z_4) = (-z_2,\ z_1,\ 2z_1+3z_3,\ z_3+3z_4),$$

其关于标准基的矩阵是

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}.$$

极小多项式是

$$p(z) = 9 - 6z + 10z^2 - 6z^3 + z^4.$$

情形 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$：$p(z) = (z^2+1)(z-3)^2$，而 $z^2+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上不可约。由 定理 5.44，不存在使 $T$ 上三角的基。

情形 $\mathbf{F} = \mathbf{C}$：$p(z) = (z-i)(z+i)(z-3)^2$，全是一次因式。由 定理 5.44，存在这样的基。可以验证关于基

$$(4-3i,-3-4i,-3+i,1),\ \ (4+3i,-3+4i,-3-i,1),\ \ (0,0,0,1),\ \ (0,0,1,0),$$

$T$ 的矩阵是上三角的

$$\begin{pmatrix} i & 0 & 0 & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.$$

这个例子把 5.1 节的说法具体化：同一个算子的矩阵能否化成上三角，取决于标量域，而根源完全在代数一侧，即 $z^2+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上不可约、在 $\mathbf{C}$ 上能拆。

注意最后那个矩阵的第三行第四列有个 $1$。这正是 定理 5.39 允许的：只要求对角线下为零，上方（$*$ 的位置）可以是任何东西。上三角不等于对角，后者要求上方也全零，那是 lecture 14 的话题。

7. 本讲概念映射 (Summary)

关心的问题	精确形式	编号
算子的幂	$T^m = T\cdots T$，$T^0 = I$，$T^{-m} = (T^{-1})^m$	5.13
多项式作用于算子	$p(T) = a_0I + a_1T + \dots + a_mT^m$（常数项要写成 $a_0I$）	5.14
多项式与算子如何相容	$(pq)(T) = p(T)q(T)$；且 $p(T)q(T) = q(T)p(T)$	5.17
用多项式造不变子空间	$\text{null } p(T)$ 与 $\text{range } p(T)$ 都在 $T$ 下不变	5.18
复算子一定有特征值	$v, Tv,\dots,T^nv$ 线性相关 $\Rightarrow$ 零化多项式 $\Rightarrow$ 代数基本定理	5.19
有限维假设不能删	$\mathcal{P}(\mathbf{C})$ 上乘 $z$ 的算子无特征值	5.20
对整个算子零化的多项式	唯一的首一极小多项式，次数 $\le \dim V$	5.22, 5.24
特征值与极小多项式	极小多项式的零点 $=$ 特征值	5.27
什么时候 $q(T) = 0$	$q$ 是极小多项式的倍数	5.29
限制算子的极小多项式	原极小多项式是限制的极小多项式的倍数	5.31
可逆性的代数判据	$T$ 不可逆 $\iff$ 极小多项式的常数项为 $0$	5.32
不可约二次因式给出偶数维零空间	$b^2 < 4c \Rightarrow \dim\text{null}(T^2+bT+cI)$ 为偶数	5.33
奇数维实空间的算子	必有特征值（用”偶数维零空间”降维并保持奇偶性）	5.34
上三角矩阵的等价刻画	矩阵上三角 $\iff$ $\text{span}(v_1,\dots,v_k)$ 逐层不变	5.39
上三角矩阵给出什么	对角元恰好是全部特征值	5.41
何时能上三角化	极小多项式能分解成一次因式	5.44
$\mathbf{C}$ 上的保证	每个复算子都有上三角矩阵	5.47

一条主线

本讲从一个问题出发，即特征值一定存在吗。Axler 的证明不用行列式，只用了两件事：维数有限（于是 $v, Tv, \dots, T^nv$ 必线性相关，从而造出一个零化多项式）与代数基本定理（于是那个多项式能分解出一次因式，从而得到特征值）。

为了让这个证明写得干净，本讲引入了多项式作用于算子。而这一步的副产品比证明本身更持久：它给出了极小多项式，即”最经济的零化多项式”。极小多项式的三个性质构成了本讲后半的全部工具：

• 它的零点是特征值（5.27）；
• 它的倍数恰好是全部零化多项式（5.29）；
• 它能否分解成一次因式，等价于算子能否上三角化（5.44）。

一句话概括：给算子配上它的极小多项式，就把算子问题翻译成了多项式问题。而 定理 5.44 与 lecture 14 的 定理 5.62 说明，这个翻译在”上三角”与”对角”两档上都是等价的：

$$\text{能上三角化} \iff \text{极小多项式分解成一次因式},$$ $$\text{能对角化} \iff \text{极小多项式分解成\textbf{互不相同}的一次因式}.$$

两行只差”互不相同”四个字，而这四个字就是 lecture 14 的全部内容。

8. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

• 特征空间：把所有对应 $\lambda$ 的特征向量连同 $0$ 收集起来，得到 $E(\lambda,T) = \text{null}(T-\lambda I)$。这些子空间的和是直和（lecture 14 的 定理 5.54），而它们的维数之和是否等于 $\dim V$ 正是可对角化的判据（定理 5.55）。
• 对角化：能上三角是”逐层不变”，能对角是”一维不变子空间的直和”。后者判据是本讲 定理 5.29 的直接应用，即极小多项式必须是互不相同一次因式的乘积（定理 5.62）。
• 上三角矩阵的用途：复算子总能上三角化，故对角元直接给出特征值（定理 5.41）。这条事实在 Chapter 8 讨论特征多项式时会被重新使用。
• 不可精确计算性：例子 5.26 的极小多项式 $3-6z+z^5$ 没有求根公式，故那个算子的特征值无法精确写出。这解释了为什么本章结果都是结构性的，而不是算法。
• 后续加强：定理 5.47 会在 Chapter 8 被加强。此外，“两个可交换的算子可以同时上三角化”也是后续的经典结论。

9. Exercises (Homework Assignment 13: LADR 5.B: 4, 11, 17, 20)

编号说明：正文定理编号一律用第四版；作业题号来自第三版（讲义幻灯片引用 “5.10” 为”不同特征值的特征向量线性无关”，第四版该条为 5.11，可见其用第三版）。第三版与第四版的分节也不同：第三版 5.B 含极小多项式、5.C 含上三角与对角化；第四版 5.B 是极小多项式、5.C 是上三角、5.D 才是对角化。故下表按内容对照。

第三版题号（作业）	第四版对应题	考查内容
5.B.4	5.D（幂等算子一节）	$P^2 = P \Rightarrow V = \text{null } P \oplus \text{range } P$
5.B.11	5.B.4	复空间上：$\alpha$ 是 $p(T)$ 的特征值 $\iff$ $\alpha = p(\lambda)$
5.B.17	无直接对应	用线性映射改写 定理 5.19 的证明
5.B.20	5.C.6	有限维复空间上，每个维数 $k$ 都有 $k$ 维不变子空间

5.B.4

Suppose $P \in \mathcal{L}(V)$ and $P^2 = P$. Prove that $V = \text{null } P \oplus \text{range } P$.

（第三版 5.B.4。第四版把它放在 5.D 之前，是幂等算子的标准性质。）

solution:

记 $N = \text{null } P$，$R = \text{range } P$。

第一步：$N \cap R = \{0\}$。 设 $v \in N \cap R$。因为 $v \in R$，存在 $u$ 使 $v = Pu$。于是由 $P^2 = P$，

$$v = Pu = P(Pu) = P^2u = Pv.$$

而 $v \in N$ 即 $Pv = 0$，故 $v = 0$。

第二步：$N + R = V$。 任取 $v \in V$，写

$$v = \underbrace{(v - Pv)}_{n} + \underbrace{Pv}_{r}.$$

则 $r \in R$ 显然，而

$$Pn = P(v - Pv) = Pv - P^2v = Pv - Pv = 0,$$

故 $n \in N$。

结论：由两步得 $V = N \oplus R$，即 $V = \text{null } P \oplus \text{range } P$。$\blacksquare$

要点：分解 $v = (v - Pv) + Pv$ 是幂等算子的标准技巧，把任意向量拆成”偏离不动点的部分”与”在不动点集合上的投影”，而它成立全靠 $P^2 = P$。

顺带得到一个漂亮的对应：lecture 12 习题 5.A.14 的投影算子恰好就是这样的 $P$，而它的特征值恰为

$$V = \underbrace{\text{range } P}_{\text{特征值 } 1} \oplus \underbrace{\text{null } P}_{\text{特征值 } 0}.$$

所以”幂等”这个代数条件恰好刻画”投影”这个几何概念。

5.B.11

Suppose $\mathbf{F} = \mathbf{C}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, $p \in \mathcal{P}(\mathbf{C})$ is a polynomial, and $\alpha \in \mathbf{C}$. Prove that $\alpha$ is an eigenvalue of $p(T)$ if and only if $\alpha = p(\lambda)$ for some eigenvalue $\lambda$ of $T$.

（第三版 5.B.11；第四版 5.B.4。两版同题。）

solution:

记 $q(z) = p(z) - \alpha$，则 $q(T) = p(T) - \alpha I$。

（$\Longleftarrow$） 设 $\alpha = p(\lambda)$，$\lambda$ 是 $T$ 的特征值，取特征向量 $v \neq 0$。由 $T^kv = \lambda^kv$ 得

$$p(T)v = p(\lambda)v = \alpha v,$$

故 $\alpha$ 是 $p(T)$ 的特征值。

（$\Longrightarrow$） 设 $\alpha$ 是 $p(T)$ 的特征值。由 定理 5.7，$p(T) - \alpha I = q(T)$ 不可逆。

因为 $\mathbf{C}$ 上 $q$ 能分解成一次因式：

$$q(z) = c(z-\mu_1)(z-\mu_2)\cdots(z-\mu_m), \quad c \neq 0,$$

故由 [定理 5.17(a)]，

$$q(T) = c(T-\mu_1I)(T-\mu_2I)\cdots(T-\mu_mI).$$

关键：$q(T)$ 不可逆，故某个因式不可逆。 若每个 $T - \mu_jI$ 都可逆，则它们的乘积可逆（定理 3.63），与 $q(T)$ 不可逆矛盾。故存在 $j$ 使 $T-\mu_jI$ 不可逆，由 定理 5.7 知 $\mu_j$ 是 $T$ 的特征值。

而 $q(\mu_j) = 0$（因 $q$ 含因式 $z - \mu_j$），故

$$p(\mu_j) = q(\mu_j) + \alpha = \alpha. \qquad\blacksquare$$

要点：这道题说明多项式把特征值按函数关系搬运：

$$\{p(T) \text{ 的特征值}\} = p\big(\{T \text{ 的特征值}\}\big).$$

为什么需要 $\mathbf{C}$？ 因为 (c) 那一步要求 $q$ 能分解完。若 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$ 而 $q = z^2+1$，结论可能失效：取 $T$ 为 $\mathbf{R}^2$ 上 $90^\circ$ 旋转（无特征值），$p(z) = z^2$，则 $T^2 = -I$，故 $p(T) = -I$ 有特征值 $-1$，但 $-1$ 不可能写成 $\lambda^2$（$\lambda$ 为 $T$ 的特征值，而 $T$ 没有特征值）。这正是第四版习题 5.B.5 要求的反例。

5.B.17

Rewrite the proof of 5.21 using the linear map that sends $p \in \mathcal{P}_{n^2}(\mathbf{C})$ to $p(T) \in \mathcal{L}(V)$ (and use 3.23).

（第三版 5.B.17。它指向第三版的两个编号，即定理 5.21（等于第四版的 定理 5.19，“复算子必有特征值”）与定理 3.23（等于第四版的 3.22，即”映到更低维空间的线性映射不是单射”）。第四版已删去本题编号。下面按 3e 编号，括号内给出 4e 对应。）

solution:

这道题要求的是一次视角转换，而不是把原证明换一种写法。

	原证明（定理 5.19）	本题的改写
考察对象	向量序列 $v, Tv, \dots, T^nv$	算子序列 $I, T, T^2, \dots$
线性相关的对象	$n+1$ 个向量在 $n$ 维空间 $V$ 中	$n^2+1$ 个算子在 $n^2$ 维空间 $\mathcal{L}(V)$ 中
得到的结论	$p(T)v = 0$，只对某一个 $v$ 成立	$p(T) = 0$，是零算子，对所有 $v$ 成立
结论的性质	关于向量 $v$ 的局部信息	关于算子 $T$ 的全局信息

前者只说明”$v$ 落在 $p(T)$ 的核里”，后者说明”$T$ 整体满足一个多项式方程”。 后一种信息强得多，而它恰好是极小多项式存在的证明思路（定理 5.22），也是 Cayley–Hamilton 定理的前奏。

第一步：定义线性映射。 设 $\dim V = n > 0$，定义

$$\Lambda : \mathcal{P}_{n^2}(\mathbf{C}) \to \mathcal{L}(V), \qquad \Lambda(p) = p(T).$$

这是线性映射，因为 $(ap + bq)(T) = a\,p(T) + b\,q(T)$。

第二步：比较维数。 定义域 $\mathcal{P}_{n^2}(\mathbf{C})$ 是次数不超过 $n^2$ 的多项式构成的复向量空间，故

$$\dim \mathcal{P}_{n^2}(\mathbf{C}) = n^2 + 1.$$

而由 定理 3.72，

$$\dim \mathcal{L}(V) = (\dim V)(\dim V) = n^2.$$

于是定义域的维数严格大于陪域的维数。

第三步：应用 3.23。 由 3e 定理 3.23（4e 3.22：若 $\dim$ 定义域 $> \dim$ 陪域，则线性映射不可能是单射），$\Lambda$ 不是单射。

这一步正是本题的枢纽：原证明靠”$n+1$ 个向量线性相关”得到核非平凡，这里靠"$\dim \mathcal{P}_{n^2} = n^2+1 > n^2 = \dim \mathcal{L}(V)$"得到核非平凡。两者用的是同一个维数原理，只是把”向量”换成了”算子”。

第四步：取出非零的多项式。 因为 $\Lambda$ 不是单射，$\text{null } \Lambda \neq \{0\}$。故存在非零多项式 $p \in \mathcal{P}_{n^2}(\mathbf{C})$ 使

$$\Lambda(p) = 0, \quad\text{即}\quad p(T) = 0 \ \text{（零算子）}.$$

注意这里的强弱差别：原证明得到的是 $p(T)v = 0$（依赖 $v$），这里得到的是 $p(T) = 0$（对一切向量成立）。

第五步：用代数基本定理分解。 $p$ 是非零复系数多项式，故由 定理 4.13 可分解为

$$p(z) = c(z - \lambda_1)(z - \lambda_2)\cdots(z - \lambda_m),$$

其中 $c \neq 0$，各 $\lambda_j \in \mathbf{C}$。代入算子（[定理 5.17(a)]）：

$$0 = p(T) = c(T - \lambda_1I)(T - \lambda_2I)\cdots(T - \lambda_mI).$$

第六步：反证得到特征值。 假设 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 都不是 $T$ 的特征值。则由 定理 5.7，每个 $T - \lambda_jI$ 都可逆。而可逆算子的乘积可逆（定理 3.63），故

$$c(T - \lambda_1I)\cdots(T - \lambda_mI)$$

是可逆算子。

但上式等于 $0$（零算子），而零算子在非零空间 $V$ 上显然不可逆（它把 $V$ 压成 $\{0\}$，不是满射）。矛盾。 故至少有一个 $\lambda_j$ 是 $T$ 的特征值。$\blacksquare$

为什么这个证明”更宏观”？ 对比两条路线的收尾方式，差别很清楚。

• 原证明（定理 5.19）得到 $p(T)v = 0$ 后，是把 $p$ 分解，然后沿着链条 $v, Tv, \dots$ 逐个因子观察，找到一个”从非零跳到零”的位置。这里动用了 $v$ 作为”见证者”，最后得到的是一个特征向量。
• 改写后得到 $p(T) = 0$ 后，是直接假设全部因式可逆、导出”可逆算子等于零算子”的矛盾。这里完全没有用到任何具体的向量，最后得到的是”特征值存在”这个存在性结论。

第二种做法的代价是：定义域要取到 $\mathcal{P}_{n^2}$，即次数允许到 $n^2$，比原证明的 $n$ 大得多。它给出的零化多项式次数上界（$n^2$）远不如 定理 5.22 的（$n$）。所以这是一条”容易证明但结论粗”的路线——而把上界从 $n^2$ 压到 $n$，正是 定理 5.22 要做的事（那里的证明需要”用向量开出链条 + 在值域上归纳”）。

要点：这道题的价值在于它展示了同一个维数原理的两种用法：

	用在哪里	得到什么
原证明	$n+1$ 个向量 $v, Tv, \dots, T^nv$ 在 $n$ 维的 $V$ 里	存在 $p \neq 0$ 使 $p(T)v = 0$
本题	$n^2+1$ 个坐标 $I, T, \dots, T^{n^2}$ 在 $n^2$ 维的 $\mathcal{L}(V)$ 里	存在 $p \neq 0$ 使 $p(T) = 0$

从”向量线性相关”升级到”算子线性相关”，是本章后半部分（极小多项式、上三角矩阵、可对角化）的共同起点，因为只有后者才给出”$T$ 满足一个多项式方程”这种全局信息，而 4.6 节的 定理 5.27（极小多项式的零点恰是特征值）正是靠这份全局信息运作的。

顺带一提：这个论证也解释了 定理 5.22 为什么”一定存在”零化多项式——它只是把本题的定义域从 $\mathcal{P}_{n^2}$ 缩小到 $\mathcal{P}_{n}$ 后仍然成立的更强结论。而缩小定义域之所以可能，正是 定理 5.22 的证明需要归纳的原因：$n$ 这个上界不是单靠维数比较就能得到的。

5.B.20

Suppose $V$ is a finite-dimensional complex vector space and $T \in \mathcal{L}(V)$. Prove that $T$ has an invariant subspace of dimension $k$ for each $k = 1, \dots, \dim V$.

（第三版 5.B.20；第四版 5.C.6。两版同题。）

solution:

记 $n = \dim V$。由 定理 5.47，存在 $V$ 的基 $v_1, \dots, v_n$ 使 $T$ 的矩阵上三角。由 定理 5.39(b)，

$$U_k := \text{span}(v_1, \dots, v_k)$$

对每个 $k = 1, \dots, n$ 都在 $T$ 下不变。而 $v_1,\dots,v_k$ 线性无关（它们是基的一部分），故 $\dim U_k = k$。因此对每个 $k$ 都存在 $k$ 维不变子空间。$\blacksquare$

要点：这道题是 定理 5.47 的直接推论，而它把 lecture 12 开头那个含糊的问题——“能不能把 $V$ 拆成 $T$ 保持的小块”——给出了定量的答案：在复空间上，每一种维数都能找到不变子空间。

值得注意的是，这些子空间是嵌套的：$U_1 \subset U_2 \subset \dots \subset U_n = V$。这正是上三角矩阵的结构（定理 5.39）。反过来，若要求这些子空间两两”独立”（构成直和），那就要求可对角化，而这在复空间上也可能失败（lecture 14 的 5.3 节第 2 种情形）。从”嵌套”到”直和”这一步，是真与假的差别，也是下一讲的主题。