博文高等线性代数

Lecture 6: Null Space and Range (零空间 与 值域)

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线性代数笔记

1. Introduction (引言：线性映射丢失了多少信息，又送达了多少信息？)

在 lecture 5 中，我们引入了线性映射 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)（定义见 定义 3.1），并掌握了一个深刻的事实：线性映射由它在一组基上的作用完全且唯一地决定（线性映射引理 定理 3.4）。这回答了”如何指定一个线性映射”。但还有一个同样根本的问题悬而未决：

当 TT 把输入 vv 变成输出 TvTv 时，它丢失了多少信息？又送达了多少信息？

把 TT 想象成一条信号传输通道：输入端是 VV，输出端是 WW。

丢失的信息。 若存在 v≠0v \neq 0 使得 Tv=0Tv = 0，则非零信号 vv 在传输中被完全抹掉。更一般地，若两个不同输入 u≠vu \neq v 在输出端变得不可区分（Tu=TvTu = Tv），则由线性性

T(u−v)=Tu−Tv=0,T(u - v) = Tu - Tv = 0,

即它们的差 u−vu - v 正是被抹掉的那部分信号。因此，“所有被映成 00 的向量”构成的集合

null T={v∈V:Tv=0}\text{null } T = \{v \in V : Tv = 0\}

精确度量了 TT 丢失的信息总量。我们称它为零空间 (null space)（正式定义见 定义 3.11）。

送达的信息。 从输出端往回看：WW 中哪些向量是真正能被接收到的？即

range T={Tv:v∈V}.\text{range } T = \{Tv : v \in V\}.

它度量了 TT 的输出能够触及的范围，我们称它为值域 (range)（正式定义见 定义 3.16）。

一个很自然的想法就产生了： 我们何不用这两个子空间，把最关心的两件事精确化？

  • 不丢信息 = 不同输入永远可区分 = 单射 (injective)（定义 3.14）。由 Tu=Tv  ⟺  u−v∈null TTu = Tv \iff u - v \in \text{null } T 可见，单射性应当等价于 null T={0}\text{null } T = \{0\}；
  • 送达全部 = 输出覆盖整个 WW = 满射 (surjective)（定义 3.19），即 range T=W\text{range } T = W。

再进一步：当 VV 有限维时，“丢掉的维度”与”送达的维度”不可能独立变化——输入端总共只有 dim⁡V\dim V 这么多信息维度，丢掉的加送达的必须恰好等于它。这就是本讲的核心、也是整门课程最核心的定理之一——线性映射基本定理（一条信息守恒定律）：

dim⁡V=dim⁡null T+dim⁡range T.\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T.

它还将直接给出线性方程组解的存在性与唯一性的干净判据，无需任何消元计算。

2. Null Space and Injectivity (零空间与单射性)

2.1 Definition of Null Space (零空间的定义)

Definition 3.11 (Null Space) 对于线性映射 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)，TT 的零空间 (null space)（有些数学家称之为 kernel），记为 null T\text{null } T，是 VV 中所有被 TT 映射为 00 的向量构成的子集：

null T={v∈V:Tv=0}\text{null } T = \{v \in V : Tv = 0\}

注：“null” 意为零，因此零空间应让你联想到与 00 的联系。

Example 3.12 (零空间的直觉)

映射 TTnull T\text{null } T信息论解读
零映射 0∈L(V,W)0 \in \mathcal{L}(V,W)VV全部信息丢失
φ(z1,z2,z3)=z1+2z2+3z3\varphi(z_1,z_2,z_3) = z_1+2z_2+3z_3{(z1,z2,z3):z1+2z2+3z3=0}\{(z_1,z_2,z_3): z_1+2z_2+3z_3=0\}（2 维平面）3 维输入丢 2 维
微分 Dp=p′Dp = p' on P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R})常数函数微分抹掉常数项信息
乘 x2x^2：(Tp)(x)=x2p(x)(Tp)(x)=x^2p(x){0}\{0\}不丢任何信息
后移算子 T(x1,x2,… )=(x2,x3,… )T(x_1,x_2,\dots)=(x_2,x_3,\dots){(a,0,0,… ):a∈F}\{(a,0,0,\dots): a \in \mathbb{F}\}只丢掉第一个坐标

Proposition 3.13 (The null space is a subspace) 若 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)，则 null T\text{null } T 是 VV 的子空间。

证明思路：

  1. T(0)=0T(0) = 0，故 0∈null T0 \in \text{null } T。
  2. 若 u,v∈null Tu, v \in \text{null } T，则 T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0T(u+v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0，故对加法封闭。
  3. 若 u∈null T,λ∈Fu \in \text{null } T, \lambda \in \mathbb{F}，则 T(λu)=λTu=λ0=0T(\lambda u) = \lambda Tu = \lambda 0 = 0，故对标量乘法封闭。

为什么零空间自动是子空间，而不需要额外假设？因为”被抹成 00“这一性质在线性运算下天然保持：两个被抹掉的信号叠加、放大之后，仍然被抹掉。线性结构把”逐点检查”化归为”三条封闭性检查”，这正是子空间判据 命题 1.34 的力量。

2.2 Injectivity (单射性)

Definition 3.14 (Injective) 函数 T:V→WT: V \to W 被称为单射 (injective 或 one-to-one)，如果 Tu=TvTu = Tv 蕴含 u=vu = v。（即不同的输入映射到不同的输出。）

Theorem 3.15 (Injectivity   ⟺  \iff null space equals {0}\{0\}) 设 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)。则 TT 是单射当且仅当 null T={0}\text{null } T = \{0\}。

证明思路：

  • (⟹)(\Longrightarrow): 假设 TT 是单射。已知 {0}⊆null T\{0\} \subseteq \text{null } T。若 v∈null Tv \in \text{null } T，则 Tv=0=T(0)Tv = 0 = T(0)。由单射性可得 v=0v = 0。故 null T={0}\text{null } T = \{0\}。
  • (⟸)(\Longleftarrow): 假设 null T={0}\text{null } T = \{0\}。若 Tu=TvTu = Tv，则 T(u−v)=Tu−Tv=0T(u-v) = Tu - Tv = 0。这意味着 u−v∈null Tu-v \in \text{null } T。因为 null T={0}\text{null } T = \{0\}，所以 u−v=0u-v = 0，即 u=vu = v。故 TT 是单射。

对一般函数验证单射，需要比较所有输入对 (u,v)(u, v)，这是一个全局的、两两比较的命题。但对线性映射，线性性允许我们把全局问题平移化归到原点一点：u,vu, v 是否可区分，只取决于它们的差 u−vu - v 是否被抹掉。于是”处处单射”塌缩为”原点处没有非零向量被抹掉”，即 null T={0}\text{null } T = \{0\}。这是线性映射区别于一般函数的根本红利——单射性只需在一点处检查。

这一定理也从侧面提醒我们定义零空间的意义。我们为什么不定义一空间、二空间，而是单单定义一个零空间？

这是因为 00 是加法不变元（additive identity）。如果定义域 VV 中的向量 vv 满足 Tv=0Tv = 0，那么对于任意两个这样的向量 u,vu, v 和任意标量 λ\lambda，线性性保证了 T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0T(u+v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 以及 T(λu)=λTu=λ0=0T(\lambda u) = \lambda Tu = \lambda 0 = 0。这意味着“所有被映射到 00 的向量”构成的集合天然对加法和数乘封闭，因此它自动成为一个真正的“子空间”（subspace）。

相反，如果我们试图定义一个“ww-空间”（w≠0w \neq 0），即所有被映射到 ww 的集合 {v∈V:Tv=w}\{v \in V : Tv = w\}。假设 Tu=wTu = w 且 Tv=wTv = w，那么 T(u+v)=w+w=2w≠wT(u+v) = w + w = 2w \neq w。这个集合对加法不封闭，它甚至不包含原点，因此它根本不是一个“空间”。

更重要的是，这种非零原像集的结构，仅仅是零空间的一个平移。如果方程 Tv=wTv = w 有一个特解 v0v_0，那么它的任意其他解 vv 必然满足 T(v−v0)=Tv−Tv0=w−w=0T(v - v_0) = Tv - Tv_0 = w - w = 0，即 v−v0∈null Tv - v_0 \in \text{null } T。这意味着方程 Tv=wTv = w 的整个解集可以完美地写成 v0+null Tv_0 + \text{null } T。

这深刻地揭示了单射性与零空间的联系（判据即 定理 3.15）：当且仅当 null T={0}\text{null } T = \{0\} 时，这个“平移”的零空间退化为了一个点。此时，对于任何 ww，方程 Tv=wTv = w 至多只有一个解（即 v0+0=v0v_0 + 0 = v_0），这正是单射性的几何体现——不同的输入绝不会映射到同一个输出。反之，如果零空间包含非零向量，这个“平移”出来的解集就会包含无穷多个点，意味着信息在传输中发生了“多对一”的坍缩。

因此，我们不需要为每个 ww 定义一个新的空间。零空间不仅度量了丢失的信息，它的平移结构还完全决定了线性方程解的唯一性。

3. Range and Surjectivity (值域与满射性)

3.1 Definition of Range (值域的定义)

Definition 3.16 (Range) 对于 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)，TT 的值域 (range)（有些数学家称之为 image）是 WW 中所有等于某个 TvTv 的向量构成的子集：

range T={Tv:v∈V}\text{range } T = \{Tv : v \in V\}

Example 3.17

  • 零映射：range T={0}\text{range } T = \{0\}。
  • T(x,y)=(2x,5y,x+y)∈L(R2,R3)T(x,y) = (2x, 5y, x+y) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3)：range T={(2x,5y,x+y):x,y∈R}\text{range } T = \{(2x,5y,x+y): x,y \in \mathbb{R}\}，基为 (2,0,1),(0,5,1)(2,0,1),(0,5,1)，是一个 2 维子空间。
  • 微分 Dp=p′Dp = p' on P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R})：因为每个多项式 qq 都有原函数 pp（p′=qp' = q），故 range D=P(R)\text{range } D = \mathcal{P}(\mathbb{R})。

Proposition 3.18 (The range is a subspace) 若 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)，则 range T\text{range } T 是 WW 的子空间。

证明思路：

  1. T(0)=0  ⟹  0∈range TT(0)=0 \implies 0 \in \text{range } T。
  2. 若 w1,w2∈range Tw_1, w_2 \in \text{range } T，存在 v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V 使得 Tv1=w1,Tv2=w2Tv_1=w_1, Tv_2=w_2。则 T(v1+v2)=w1+w2T(v_1+v_2) = w_1+w_2，对加法封闭。
  3. 若 w∈range T,λ∈Fw \in \text{range } T, \lambda \in \mathbb{F}，存在 v∈Vv \in V 使得 Tv=wTv=w。则 T(λv)=λwT(\lambda v) = \lambda w，对标量乘法封闭。

与零空间对偶地，“能被接收到”这一性质在输出端的线性组合下保持：两个能收到的信号叠加、放大，仍然能收到（只要把输入端做同样的叠加、放大即可）。

3.2 Surjectivity (满射性)

Definition 3.19 (Surjective) 函数 T:V→WT: V \to W 被称为满射 (surjective 或 onto)，如果它的值域等于 WW（即 range T=W\text{range } T = W）。

Example 3.20 (满射性依赖于目标空间) 微分算子 D∈L(P5(R))D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_5(\mathbb{R}))，Dp=p′Dp = p' 不是满射，因为 x5∉range Dx^5 \notin \text{range } D；但同一个微分规则视为 S∈L(P5(R),P4(R))S \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_5(\mathbb{R}), \mathcal{P}_4(\mathbb{R}))，Sp=p′Sp = p' 是满射，因为 range S=P4(R)\text{range } S = \mathcal{P}_4(\mathbb{R})。

range T\text{range } T 是 TT 的内禀属性（只由 TT 自己决定），但”满射”是 TT 与目标空间 WW 之间的关系属性。同一个映射，换一个目标空间，满射性就可能改变。这提醒我们：谈论满射之前，必须先声明目标空间。

4. Fundamental Theorem of Linear Maps (线性映射基本定理)

这是线性代数中最重要、最核心的定理之一（也常被称为秩-零化度定理 Rank-Nullity Theorem）。它把 定义 3.11 与 定义 3.16 两个子空间的维数联系了起来。

Theorem 3.21 (Fundamental Theorem of Linear Maps) 假设 VV 是有限维的，且 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)。则 range T\text{range } T 是有限维的，且：

dim⁡V=dim⁡null T+dim⁡range T\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T

4.1 证明的动机与因果链条

问题：如何同时量化”丢掉的维度”与”送达的维度”？ 策略：把 VV 的方向清单分成两半——被抹掉的方向与幸存的方向。

  1. 列出被抹掉的方向：取 null T\text{null } T 的一组基 u1,…,umu_1, \dots, u_m，则 dim⁡null T=m\dim \text{null } T = m。
  2. 补出幸存的方向：由基扩展定理 定理 2.32，将线性无关列表 u1,…,umu_1,\dots,u_m 扩展为 VV 的一组基 u1,…,um,v1,…,vnu_1, \dots, u_m, v_1, \dots, v_n。补出来的 v1,…,vnv_1,\dots,v_n 就是”幸存方向”的候选，且 dim⁡V=m+n\dim V = m + n。
  3. 关键断言：Tv1,…,TvnTv_1, \dots, Tv_n 是 range T\text{range } T 的一组基。
    • 生成性 (Spans)：对任意 v∈Vv \in V，写 v=∑iaiui+∑jbjvjv = \sum_i a_i u_i + \sum_j b_j v_j。应用 TT 后，uu-部分全部消失（Tui=0Tu_i = 0），得 Tv=∑jbjTvjTv = \sum_j b_j Tv_j。即一切输出都只由幸存方向贡献。
    • 线性无关性 (Linearly independent)：若 ∑jcjTvj=0\sum_j c_j Tv_j = 0，则 T(∑jcjvj)=0T(\sum_j c_j v_j) = 0，即 ∑jcjvj∈null T\sum_j c_j v_j \in \text{null } T，故可被 u1,…,umu_1,\dots,u_m 线性表出；但 uu‘s 与 vv‘s 合起来是 VV 的基（线性无关），于是所有系数 cjc_j 必须为 00。即幸存方向之间不会互相抹掉。
  4. 收尾：故 dim⁡range T=n\dim \text{range } T = n。结合 dim⁡V=m+n\dim V = m+n 与 dim⁡null T=m\dim \text{null } T = m，定理得证。

解读：TT 在 span(v1,…,vn)\text{span}(v_1,\dots,v_n) 上的限制是到 range T\text{range } T 的同构——幸存方向被无损送达；而 u1,…,umu_1,\dots,u_m 张成的方向是被压缩掉的维度。基本定理说的正是：

总维度=压缩掉的维度+无损送达的维度.\text{总维度} = \text{压缩掉的维度} + \text{无损送达的维度}.

4.2 重要推论：维度压迫 (Corollaries)

Theorem 3.22 (Map to a lower-dimensional space is not injective) 若 V,WV, W 为有限维且 dim⁡V>dim⁡W\dim V > \dim W，则不存在从 VV 到 WW 的单射线性映射。 证明：dim⁡null T=dim⁡V−dim⁡range T≥dim⁡V−dim⁡W>0\dim \text{null } T = \dim V - \dim \text{range } T \ge \dim V - \dim W > 0。故 null T\text{null } T 包含非零向量，TT 不是单射。 直觉：把高维空间压进低维空间，“维度预算”不够用，必有方向被挤瘪——鸽笼原理的线性版本。

Theorem 3.24 (Map to a higher-dimensional space is not surjective) 若 V,WV, W 为有限维且 dim⁡V<dim⁡W\dim V < \dim W，则不存在从 VV 到 WW 的满射线性映射。 证明：dim⁡range T=dim⁡V−dim⁡null T≤dim⁡V<dim⁡W\dim \text{range } T = \dim V - \dim \text{null } T \le \dim V < \dim W。故 range T\text{range } T 不可能等于 WW，TT 不是满射。 直觉：低维输入至多撑起 dim⁡V\dim V 维的输出子空间，撑不满更大的 WW。

5. Applications to Systems of Linear Equations (在线性方程组中的应用)

因果引入：为什么要把线性方程组翻译成线性映射？因为方程组的两个核心问题——解是否唯一、解是否存在——恰好就是单射与满射问题。翻译完成后，推论 3.22 / 3.24 直接给出答案，完全绕开高斯消元的繁琐计算（Axler 评论：抽象方法给出更干净的证明）。

5.1 齐次线性方程组 (Homogeneous System)

考虑 mm 个方程、nn 个变量的齐次方程组：

∑k=1nAj,kxk=0for j=1,…,m\sum_{k=1}^n A_{j,k} x_k = 0 \quad \text{for } j = 1, \dots, m

定义 T:Fn→FmT: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m 为 T(x1,…,xn)=(∑kA1,kxk,…,∑kAm,kxk)T(x_1, \dots, x_n) = (\sum_k A_{1,k}x_k, \dots, \sum_k A_{m,k}x_k)。 则方程组即 T(x)=0T(x) = 0，于是：

存在非零解  ⟺  null T⊋{0}  ⟺  T 不是单射.\text{存在非零解} \iff \text{null } T \supsetneq \{0\} \iff T \text{ 不是单射}.

结论 (3.26)：变量数多于方程数 (n>mn > m) 的齐次线性方程组必有非零解。（由 定理 3.22 直接得出。）

5.2 非齐次线性方程组 (Inhomogeneous System)

考虑方程组 ∑k=1nAj,kxk=cj\sum_{k=1}^n A_{j,k} x_k = c_j，即 T(x)=(c1,…,cm)T(x) = (c_1, \dots, c_m)。于是：

对某些常数项无解  ⟺  range T≠Fm  ⟺  T 不是满射.\text{对某些常数项无解} \iff \text{range } T \neq \mathbb{F}^m \iff T \text{ 不是满射}.

结论 (3.28)：方程数多于变量数 (m>nm > n) 的线性方程组，对于某些常数项的选择，必然无解。（由 定理 3.24 直接得出。）

6. 本讲概念映射 (Summary)

关心的问题对应子空间对应性质精确判据
输入是否可区分（不丢信息）null T⊆V\text{null } T \subseteq V单射 injectivenull T={0}\text{null } T = \{0\}
输出是否全覆盖（送达全部）range T⊆W\text{range } T \subseteq W满射 surjectiverange T=W\text{range } T = W
信息守恒（丢 + 送 = 总）两者基本定理 3.21dim⁡V=dim⁡null T+dim⁡range T\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T
方程组解的唯一 / 存在两者推论 3.22 / 3.24n>mn>m 必有非零解；m>nm>n 必有无解常数项

7. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

  • 给定基之后，如何用矩阵 (Matrix) 来完美地表示和计算线性映射？（Lecture 7）
  • 当 dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W 时，单射与满射为何等价？可逆性 (Invertibility) 与同构 (Isomorphism) 如何严格定义？
  • 若 TT 不是单射，能否通过商掉 null T\text{null } T（商空间 V/null TV/\text{null } T）把 TT 修复成单射？（预告：V/null T≅range TV/\text{null } T \cong \text{range } T，这正是信息守恒的几何实现。）

8. Exercises (Homework Assignment 6: LADR 3.B: 3, 10, 21, 23, 25, 28)

题号考查内容
3.B.3线性映射 T∈L(Fm,V)T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^m, V) 的满射性与 v1,…,vmv_1, \dots, v_m 生成 VV 的关系；单射性与线性无关的关系。
3.B.10若 v1,…,vnv_1, \dots, v_n 生成 VV，证明 Tv1,…,TvnTv_1, \dots, Tv_n 生成 range T\text{range } T。
3.B.21子空间 U⊆WU \subseteq W 的原像 {v∈V:Tv∈U}\{v \in V : Tv \in U\} 是 VV 的子空间，并证明维数公式。
3.B.23线性映射复合的值域维数不等式：dim⁡range ST≤min⁡{dim⁡range S,dim⁡range T}\dim \text{range } ST \le \min\{\dim \text{range } S, \dim \text{range } T\}。
3.B.25利用零空间的包含关系刻画线性映射的分解：null S⊆null T\text{null } S \subseteq \text{null } T 当且仅当 T=EST = ES。
3.B.28若 D∈L(P(R))D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R})) 满足 deg⁡Dp=(deg⁡p)−1\deg Dp = (\deg p) - 1，证明 DD 是满射。

3.B.3

Suppose v1,…,vmv_1, \dots, v_m is a list of vectors in VV. Define T∈L(Fm,V)T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^m, V) by

T(z1,…,zm)=z1v1+⋯+zmvm.T(z_1, \dots, z_m) = z_1 v_1 + \cdots + z_m v_m.

(a) What property of TT corresponds to v1,…,vmv_1, \dots, v_m spanning VV?

(b) What property of TT corresponds to the list v1,…,vmv_1, \dots, v_m being linearly independent?

solution:

3.B.10

Suppose v1,…,vnv_1, \dots, v_n spans VV and T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W). Show that Tv1,…,TvnTv_1, \dots, Tv_n spans range T\text{range } T.

solution:

3.B.21

Suppose VV is finite-dimensional, T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W), and UU is a subspace of WW. Prove that {v∈V:Tv∈U}\{v \in V : Tv \in U\} is a subspace of VV and

dim⁡{v∈V:Tv∈U}=dim⁡null T+dim⁡(U∩range T).\dim\{v \in V : Tv \in U\} = \dim \text{null } T + \dim(U \cap \text{range } T).

solution:

3.B.23

Suppose UU and VV are finite-dimensional vector spaces and S∈L(V,W)S \in \mathcal{L}(V, W) and T∈L(U,V)T \in \mathcal{L}(U, V). Prove that

dim⁡range ST≤min⁡{dim⁡range S,dim⁡range T}.\dim \text{range } ST \le \min\{\dim \text{range } S, \dim \text{range } T\}.

solution:

3.B.25

Suppose that WW is finite-dimensional and S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W). Prove that null S⊆null T\text{null } S \subseteq \text{null } T if and only if there exists E∈L(W)E \in \mathcal{L}(W) such that T=EST = ES.

solution:

3.B.28

Suppose D∈L(P(R))D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R})) is such that

deg⁡Dp=(deg⁡p)−1\deg Dp = (\deg p) - 1

for every non-constant polynomial p∈P(R)p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}). Prove that DD is surjective.

The notation DD is used above to remind you of the differentiation map that sends a polynomial pp to p′p'.

solution: