博文高等线性代数

Lecture 5: The Vector Space of Linear Maps (线性映射)

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线性代数笔记

1. Motivation (动机)

在前面几讲中，我们建立了向量空间（Vector Spaces）的静态结构：子空间、基、维数、直和等。然而，数学的魅力在于研究结构之间的“关系”与“变换”。 线性代数最核心的研究对象，就是有限维向量空间上的线性映射（Linear Maps）（定义见 定义 3.1）。本讲我们将引入线性映射的定义，探讨其基本性质，并证明所有从 VV 到 WW 的线性映射构成的集合本身也是一个向量空间。

2. Definition of Linear Maps (线性映射的定义)

2.1 Definition

Definition 3.1 (Linear Map) 一个从向量空间 VV 到向量空间 WW 的函数 T:V→WT: V \to W 被称为线性映射，如果它满足以下两个性质：

  1. 可加性 (Additivity): T(u+v)=Tu+Tvfor all u,v∈VT(u + v) = Tu + Tv \quad \text{for all } u, v \in V
  2. 齐次性 (Homogeneity): T(λv)=λ(Tv)for all λ∈F and v∈VT(\lambda v) = \lambda (Tv) \quad \text{for all } \lambda \in F \text{ and } v \in V

Note:

  • 有些数学家使用“线性变换 (linear transformation)”一词，与线性映射同义。
  • 记号上，我们通常省略括号，直接写 TvTv 而不是 T(v)T(v)。

2.2 Notation

Definition 3.2 (记号 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)、L(V)\mathcal{L}(V))

  • L(V,W)\mathcal{L}(V, W)：表示所有从 VV 到 WW 的线性映射构成的集合。
  • L(V)\mathcal{L}(V)：表示所有从 VV 到 VV 的线性映射（通常称为算子 / operators）构成的集合，即 L(V)=L(V,V)\mathcal{L}(V) = \mathcal{L}(V, V)。

3. Examples of Linear Maps (线性映射的例子)

Example 3.3 (线性映射的例子)

验证以下映射满足可加性和齐次性：

映射类型定义与说明
零映射 (Zero map)0∈L(V,W)0 \in \mathcal{L}(V, W)，定义为 0v=00v = 0（将 VV 中所有元素映射为 WW 的零元）。
恒等算子 (Identity)I∈L(V)I \in \mathcal{L}(V)，定义为 Iv=vIv = v。
微分 (Differentiation)D∈L(P(R))D \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))，定义为 Dp=p′Dp = p'。反映了 (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g' 和 (λf)′=λf′(\lambda f)' = \lambda f'。
积分 (Integration)T∈L(P(R),R)T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}), \mathbb{R})，定义为 Tp=∫01pTp = \int_0^1 p。
乘 x2x^2T∈L(P(R))T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))，定义为 (Tp)(x)=x2p(x)(Tp)(x) = x^2 p(x)。
后移算子 (Backward shift)T∈L(F∞)T \in \mathcal{L}(F^\infty)，定义为 T(x1,x2,x3,… )=(x2,x3,… )T(x_1, x_2, x_3, \dots) = (x_2, x_3, \dots)。
Fn→FmF^n \to F^mT(x1,…,xn)=(A1,1x1+⋯+A1,nxn,…,Am,1x1+⋯+Am,nxn)T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)。实际上所有从 FnF^n 到 FmF^m 的线性映射都具有这种形式（即矩阵乘法）。

4. Linear Map Lemma (线性映射引理)

这是线性代数中极其重要的一个定理，它揭示了线性映射与基之间的深刻联系。

Theorem 3.4 (Linear Map Lemma) 假设 v1,…,vnv_1, \dots, v_n 是 VV 的一组基，w1,…,wn∈Ww_1, \dots, w_n \in W 是任意给定的向量。则存在唯一的线性映射 T:V→WT: V \to W 使得：

Tvk=wkfor each k=1,…,nTv_k = w_k \quad \text{for each } k = 1, \dots, n

Proof Idea (证明思路):

  • 存在性 (Existence): 因为 v1,…,vnv_1, \dots, v_n 是基，VV 中任意向量 vv 可唯一表示为 v=c1v1+⋯+cnvnv = c_1 v_1 + \dots + c_n v_n。我们直接定义 T(c1v1+⋯+cnvn)=c1w1+⋯+cnwnT(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) = c_1 w_1 + \dots + c_n w_n。通过展开可以验证该定义满足可加性和齐次性。
  • 唯一性 (Uniqueness): 假设存在满足条件的 TT，由齐次性 T(ckvk)=ckwkT(c_k v_k) = c_k w_k，再由可加性 T(c1v1+⋯+cnvn)=c1w1+⋯+cnwnT(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) = c_1 w_1 + \dots + c_n w_n。这说明 TT 在整个 VV 上的作用被其在基上的作用完全且唯一地决定。

核心结论：我们可以随意指定线性映射在一组基上的像，这足以唯一确定整个线性映射。（这条引理是 Lecture 7 用矩阵表示线性映射的全部依据。）

5. Algebraic Operations on L(V,W)\mathcal{L}(V, W) (线性映射空间的代数运算)

5.1 Addition and Scalar Multiplication

Definition 3.5 假设 S,T∈L(V,W)S, T \in \mathcal{L}(V, W) 且 λ∈F\lambda \in F。定义它们的和 S+TS+T 与数乘 λT\lambda T 为：

  • (S+T)(v)=Sv+Tv(S + T)(v) = Sv + Tv
  • (λT)(v)=λ(Tv)(\lambda T)(v) = \lambda (Tv)

Theorem 3.6 L(V,W)\mathcal{L}(V, W) 在上述加法和数乘运算下构成一个向量空间。 (其加法单位元就是零映射 00。)

6. Product of Linear Maps (线性映射的乘积)

通常向量空间的元素之间不能相乘，但线性映射之间可以定义“乘积”（即函数的复合）。

6.1 Definition

Definition 3.7 若 T∈L(U,V)T \in \mathcal{L}(U, V) 且 S∈L(V,W)S \in \mathcal{L}(V, W)，则它们的乘积 ST∈L(U,W)ST \in \mathcal{L}(U, W) 定义为：

(ST)(u)=S(Tu)for all u∈U(ST)(u) = S(Tu) \quad \text{for all } u \in U

(Note: STST 就是通常的复合函数 S∘TS \circ T。只有当 TT 的值域包含在 SS 的定义域内时，STST 才有意义。)

6.2 Algebraic Properties

Theorem 3.8

  • 结合律 (Associativity): (T1T2)T3=T1(T2T3)(T_1 T_2) T_3 = T_1 (T_2 T_3)
  • 单位元 (Identity): TI=IT=TTI = IT = T （注意前后的 II 分别代表不同空间上的恒等算子）
  • 分配律 (Distributive properties): (S1+S2)T=S1T+S2T(S_1 + S_2)T = S_1 T + S_2 T S(T1+T2)=ST1+ST2S(T_1 + T_2) = ST_1 + ST_2

6.3 Noncommutativity (非交换性)

警告：线性映射的乘法不满足交换律！即 ST≠TSST \neq TS。 Example 3.9:
设 D∈L(P(R))D \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R})) 为微分算子，T∈L(P(R))T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R})) 为乘 x2x^2 算子。

  • 先微分再乘 x2x^2： ((TD)p)(x)=x2p′(x)((TD)p)(x) = x^2 p'(x)
  • 先乘 x2x^2 再微分： ((DT)p)(x)=(x2p(x))′=x2p′(x)+2xp(x)((DT)p)(x) = (x^2 p(x))' = x^2 p'(x) + 2xp(x) 显然 TD≠DTTD \neq DT。（这在量子力学中对应位置算符与动量算符的对易关系）。

7. Elementary Properties (基本性质)

Proposition 3.10 线性映射将零元映射为零元：若 T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W)，则 T(0)=0T(0) = 0（这条性质正是 Lecture 6 定义零空间 定义 3.11 的前提）。 Proof: 由可加性：T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0)。 两边同时加上 T(0)T(0) 的加法逆元，即得 T(0)=0T(0) = 0。

Note: 这解释了为什么高中代数中的“线性函数” f(x)=mx+bf(x) = mx + b 只有当 b=0b = 0 时，才是线性代数意义上的线性映射。

8. Terminology (相关术语)

在更抽象的代数语境中，线性映射还有其他称呼：

术语含义
Homomorphism (同态)Linear map (线性映射)
Endomorphism (自同态)Linear operator (线性算子, V→VV \to V)
Monomorphism / Embedding (单态射)Injective linear map (单射线性映射)
Epimorphism (满态射)Surjective linear map (满射线性映射)
Isomorphism (同构)Bijective linear map (双射线性映射)
Automorphism (自同构)Bijective linear operator (双射线性算子)

9. Exercises

3.A.3. Suppose that T∈L(Fn,Fm)T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^n, \mathbf{F}^m). Show that there exist scalars Aj,k∈FA_{j,k} \in \mathbf{F} for j=1,…,mj = 1, \dots, m and k=1,…,nk = 1, \dots, n such that

T(x1,…,xn)=(A1,1x1+⋯+A1,nxn,…,Am,1x1+⋯+Am,nxn)T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)

for every (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{F}^n.

Solution:

3.A.9. Give an example of a function φ:C→C\varphi: \mathbf{C} \to \mathbf{C} such that

φ(w+z)=φ(w)+φ(z)\varphi(w + z) = \varphi(w) + \varphi(z)

for all w,z∈Cw, z \in \mathbf{C} but φ\varphi is not linear. (Here C\mathbf{C} is thought of as a complex vector space.)
There also exists a function 𝜑∶ 𝐑 → 𝐑 such that 𝜑 satisfies the additivity condition above but 𝜑 is not linear. However, showing the existence of such a function involves considerably more advanced tools. Solution:

3.A.10. Prove or give a counterexample: If q∈P(R)q \in \mathcal{P}(\mathbf{R}) and T:P(R)→P(R)T: \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathcal{P}(\mathbf{R}) is defined by Tp=q∘pTp = q \circ p, then TT is a linear map.

Solution:

3.A.11. Suppose VV is finite-dimensional and T∈L(V)T \in \mathcal{L}(V). Prove that TT is a scalar multiple of the identity if and only if ST=TSST = TS for every S∈L(V)S \in \mathcal{L}(V).

Solution:

3.A.13. Suppose VV is finite-dimensional. Prove that every linear map on a subspace of VV can be extended to a linear map on VV. In other words, show that if UU is a subspace of VV and S∈L(U,W)S \in \mathcal{L}(U, W), then there exists T∈L(V,W)T \in \mathcal{L}(V, W) such that Tu=SuTu = Su for all u∈Uu \in U.

Solution:

3.A.14. Suppose VV is finite-dimensional with dim⁡V>0\dim V > 0, and suppose WW is infinite-dimensional. Prove that L(V,W)\mathcal{L}(V, W) is infinite-dimensional.

Solution:

10. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

  • 如何刻画一个线性映射“丢失”了多少信息，又“保留”了多少信息？（引出 Null Space 零空间 与 Range 值域 的概念）
  • 线性映射的维数定理（Fundamental Theorem of Linear Maps）是什么？
  • 给定基之后，如何用矩阵 (Matrix) 来完美地表示和计算线性映射？