1. Introduction (引言：输出能否反推输入？两个空间何时只是”换了名字”？)

在 lecture 7 中，我们把线性映射”翻译”成了矩阵：固定两组基后，

$$\text{向量 } v \longleftrightarrow \text{坐标列 } \mathcal{M}(v),\qquad \text{映射 } T \longleftrightarrow \text{矩阵 } \mathcal{M}(T),\qquad \text{作用 } Tv \longleftrightarrow \text{乘法 } \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v).$$

但那时我们其实留下了一个未兑现的承诺。lecture 7 的 2.5 与第 4 节把 $\mathcal{M}$ 当作一台”翻译机器”来使用，却从未证明这台机器本身可靠：

$$\mathcal{M}: \mathcal{L}(V,W) \longrightarrow \mathbf{F}^{m,n}.$$

它会不会把两个不同的映射翻译成同一个矩阵？它能不能翻译出任意一个矩阵？本讲把这个问题回答干净——答案是：$\mathcal{M}$ 是一个同构 (isomorphism)，因此”映射世界”与”矩阵世界”是同一个空间的两种写法（定义 3.71）。

可能有读者要发问了：“同构是什么意思啊？你也没在前面提到过呀？”，不必担心，我们先从大家更熟悉的可逆性（invertibility）谈起。它的出发点是一个极朴素的问题：

线性映射是一个函数，函数把输入变成输出。那么，如果我只拿到输出，并且知道函数的结构，我能不能把输入还原出来？

(还原输入) = (存在一个反向映射 $S$ 把 $Tv$ 送还 $v$) = ($T$ 可逆)。由此展开的逻辑链条是：

1. 可逆性（第 2 节）：$T$ 可逆 $\iff$ 存在反向映射 $\iff$ $T$ 既不丢信息（丢信息指只保留一个向量的部分元素的信息）又不漏信息（漏信息指有些目标空间中的向量永远不可达） $\iff$ 单射且满射 (定理 3.63)。逆还是唯一的 (定理 3.60)，故可记作 $T^{-1}$ (记号 3.61)。
2. 同构（第 3 节）：两个空间之间存在可逆线性映射时，它们”只是元素的名字不同”，本质上是一个空间——称它们同构 (定义 3.69)。
3. 维数判据（第 3 节）：判断两个有限维空间是否同构，只需比较一个数字（维数）(定理 3.70)。这是有限维向量空间理论的”奇迹”。
4. 翻译机器的可靠性（第 3 节）：$\mathcal{L}(V,W) \cong \mathbf{F}^{m,n}$ (定义 3.71)，于是 $\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)$ (定理 3.72)。lecture 7 留下的伏笔 $\dim \mathbf{F}^{m,n} = mn$ 与它完全吻合。
5. 矩阵侧的收尾（第 4 节）：定理 3.76 与 定理 3.78，把 lecture 7 的”词条”正式升格为定理。
6. 算子的特权（第 5 节）：当 $V$ 有限维且 $T \in \mathcal{L}(V)$ 时，单射与满射等价 (定理 3.65)——只需证明容易的那一条。

可逆性把”单射 + 满射”打包成一个词；同构把”两个空间本质相同”约化为”维数相同”；而维数配平又反过来送给我们一个极有用的性质——对算子而言，单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆。

2. Invertible Linear Maps (可逆线性映射)

2.1 Definition: invertible, inverse (3.59)

我们先把”能不能还原”写成严格的定义。

Definition 3.59 (invertible, inverse)

• 线性映射 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 称为可逆的 (invertible)，如果存在线性映射 $S \in \mathcal{L}(W,V)$ 使得

  $$ST = I_V \quad\text{且}\quad TS = I_W.$$

• 满足 $ST = I_V$ 与 $TS = I_W$ 的线性映射 $S \in \mathcal{L}(W,V)$ 称为 $T$ 的一个逆 (inverse)。（注意：第一个 $I$ 是 $V$ 上的恒等映射，第二个 $I$ 是 $W$ 上的恒等映射。）

为什么必须写两个等式？ 因为 $ST$ 与 $TS$ 是不同空间上的映射（$ST \in \mathcal{L}(V)$，$TS \in \mathcal{L}(W)$），它们甚至无法互相比较。用”哪一侧能还原”来读这两条：

• $ST = I_V$ 说的是”先 $T$ 后 $S$ 能还原输入”——即 $S$ 是 $T$ 的左逆 (left inverse)，$T$ 有一个左逆；
• $TS = I_W$ 说的是”先 $S$ 后 $T$ 能还原输出”——即 $S$ 是 $T$ 的右逆 (right inverse)，$T$ 有一个右逆。

（术语的命名依据是”逆落在哪一侧”：$ST$ 中 $S$ 写在 $T$ 左侧，故 $S$ 是 $T$ 的左逆。）一个真正的”逆向过程”必须两头都还原，所以两条都要。这两个条件并非同义反复：由 lecture 6 的 定理 3.15 与 定义 3.19，

$$T \text{ 有左逆} \iff T \text{ 单射}, \qquad T \text{ 有右逆} \iff T \text{ 满射}$$

可能有同学对于第二条等价有疑惑——为什么有右逆就是满射呢？其实回归映射定义本身：对于一个映射 $T:V \rightarrow W$，任意 $V$ 中的元素 $v$，都必须有一个 $W$ 中的 $Tv$ 与之对应。
同样的，把 $T$ 换成 $S$：对于一个映射 $S:W \rightarrow V$，任意 $W$ 中的元素 $w$，都必须有一个 $V$ 中的 $Sw$ 与之对应。
正是这个任意性迫使 $T$ 映满 $W$，因为任意一个 $w \in W$，都有 $Sw \in V$，那么 $V(Sw)=w \in W$。换句话说，任意找一个 $w \in W$，都有一个 $v=Sw \in V$，使得 $Tv=w$，这恰好可以证明满射的定义 ($\text{range}\ T = W)$。

（$T$ 单射时，在 $\text{range } T$ 上定义 $S = T^{-1}$ 并任意延拓到 $W$ 即得左逆；$T$ 满射时，对每个 $w$ 取一个原像即可造出右逆，对线性映射用基与线性映射引理即可）。于是 定理 3.63 可以重述为一句群论式的口号：可逆 $=$ 既有左逆又有右逆。

注意定义中说的是”an inverse”（一个逆）。 下面立刻证明这个词可以升级为”the inverse”（那个逆）。

2.2 Theorem: inverse is unique (3.60)

Theorem 3.60 (inverse is unique)
一个可逆线性映射有唯一的逆。

证明：设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 可逆，$S_1, S_2$ 都是 $T$ 的逆。则

$$S_1 = S_1 I_W = S_1 (T S_2) = (S_1 T) S_2 = I_V S_2 = S_2.$$

逐步说明：$S_1 = S_1 I_W$ 用了 $I_W$ 是恒等映射；$S_1 I_W = S_1(TS_2)$ 用了 $TS_2 = I_W$；$S_1(TS_2) = (S_1T)S_2$ 用了复合的结合律 (3.8)；$(S_1T)S_2 = I_VS_2$ 用了 $S_1T = I_V$；最后一步再次用恒等映射。故 $S_1 = S_2$。$\blacksquare$

为什么这个证明这么短？ 因为它只用到”单位元”与”结合律”这两条群论级别的性质。换句话说，逆的唯一性不是线性代数的特殊现象，而是任何具备结合乘法与单位元的系统的普遍现象——这也解释了为什么同一个论证能一字不改地搬去证明矩阵逆的唯一性（3.80 之后）。

2.3 Notation: $T^{-1}$ (3.61)，Example (3.62) 与几个可逆映射

Notation 3.61 (记号 $T^{-1}$) 若 $T$ 可逆，则它唯一的逆记作 $T^{-1}$。换言之，若 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 可逆，则 $T^{-1}$ 是 $\mathcal{L}(W,V)$ 中唯一满足

$$T^{-1}T = I_V \quad\text{且}\quad TT^{-1} = I_W$$

的元素。

Example 3.62 ($\mathbb{R}^3$ 上一个可逆映射的逆)
设 $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ 定义为

$$T(x,y,z) = (-y,\ x,\ 4z).$$

$T$ 是 $xy$ 平面内逆时针旋转 $90^\circ$ 与 $z$ 轴方向拉伸 $4$ 倍的组合。于是 $T^{-1} \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ 就是 $xy$ 平面内顺时针旋转 $90^\circ$ 与 $z$ 轴方向压缩 $\frac14$ 倍：

$$T^{-1}(x,y,z) = \left(y,\ -x,\ \tfrac14 z\right).$$

验证：$T\big(T^{-1}(x,y,z)\big) = T\big(y,-x,\tfrac14z\big) = \big(x,\ y,\ 4\cdot\tfrac14z\big) = (x,y,z)$ 。几何直觉在这里很好用：把每个”动作”逐个撤销，并逆序执行。

还有哪些可逆线性映射？ 恒等映射 $I$（$I^{-1} = I$）；$\mathbb{R}^2$ 中的旋转、关于过原点直线的反射、非零倍伸缩；$\mathbf{F}^n$ 上的置换坐标；$\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上的积分（在适当意义下它是求导的逆）。反之，$\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上的求导不可逆（常数项信息被抹掉）。一般原则：

$$\text{可逆} = \text{不丢信息} + \text{不漏信息}.$$

Question（$ST$ 可逆吗？）
设 $S, T$ 都是线性映射且乘积有定义。若 $S$ 与 $T$ 都可逆，则 $ST$ 也可逆，且逆必须反序：

$$(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}.$$

因果：要撤销”先 $T$ 后 $S$“，必须先撤销 $S$（$S^{-1}$）、再撤销 $T$（$T^{-1}$）。这个”反序”现象与矩阵乘积的逆、转置的反序律 $(AC)^t = C^tA^t$（lecture 7 的 3.C.15）同源。严格证明见习题 3.D.2。

2.4 Theorem: invertibility $\iff$ injectivity and surjectivity (3.63)

这是本讲的枢纽定理：它把”存在逆”这个存在性问题，翻译成”单射 $+$ 满射”这两个可检验的性质。以后我们基本都会利用这个定理证明可逆性。

Theorem 3.63 (invertibility $\iff$ injectivity and surjectivity)
一个线性映射可逆当且仅当它既是单射又是满射。

证明：设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。需证 $T$ 可逆 $\iff$ $T$ 单射且满射。

($\Longrightarrow$) 可逆 $\Rightarrow$ 单射 $+$ 满射

先证单射。设 $u, v \in V$ 且 $Tu = Tv$。则

$$u = T^{-1}(Tu) = T^{-1}(Tv) = v,$$

故 $u = v$，即 $T$ 单射。

再证满射。设 $w \in W$。则

$$w = T(T^{-1}w),$$

这说明 $w$ 是某个向量（即 $T^{-1}w$）的像，故 $w \in \text{range } T$，于是 $\text{range } T = W$，$T$ 满射。

这一半的本质：$T^{-1}$ 的存在性本身就是信息守恒的证书。$T^{-1}$ 能读回 $u$，正是 $Tu = Tv \Rightarrow u = v$；$T^{-1}$ 能作用在任意 $w$ 上，正是 $\text{range } T = W$。

($\Longleftarrow$) 单射 $+$ 满射 $\Rightarrow$ 可逆

对每个 $w \in W$，定义 $Sw$ 为 $V$ 中满足 $T(Sw) = w$ 的唯一元素：

• 存在性来自满射：$w \in \text{range } T$，故至少有一个这样的元素；
• 唯一性来自单射：若 $Tv_1 = w = Tv_2$，则 $v_1 = v_2$。

因此 $S$ 是一个良定义的函数 $W \to V$，且按定义 $T \circ S$ 等于 $W$ 上的恒等映射。

再证 $S \circ T$ 等于 $V$ 上的恒等映射。设 $v \in V$，则

$$T\big((S \circ T)v\big) = (T \circ S)(Tv) = I_W(Tv) = Tv.$$

这个等式说明 $(S\circ T)v$ 与 $v$ 在 $T$ 下有相同的像；由于 $T$ 单射，必有 $(S \circ T)v = v$。故 $S \circ T = I_V$。

最后补齐关键一步：$S$ 是线性的。设 $w_1, w_2 \in W$，则

$$T\big(Sw_1 + Sw_2\big) = T(Sw_1) + T(Sw_2) = w_1 + w_2,$$

（第一个等号用了 $T$ 的线性性）。因此 $Sw_1 + Sw_2$ 是 $V$ 中被 $T$ 映到 $w_1+w_2$ 的唯一元素。按 $S$ 的定义（$S$ 正是”取 $T$ 下原像”的那个函数），这蕴含

$$S(w_1 + w_2) = Sw_1 + Sw_2.$$

齐性证明类似：若 $w \in W$，$\lambda \in \mathbb{F}$，则

$$T(\lambda Sw) = \lambda T(Sw) = \lambda w,$$

故 $\lambda Sw$ 是 $V$ 中被 $T$ 映到 $\lambda w$ 的唯一元素，即 $S(\lambda w) = \lambda Sw$。因此 $S$ 线性，$T$ 可逆。证毕。$\blacksquare$

证明的因果骨架值得单独记住：

$$\underbrace{\text{满射}}_{\text{每个 } w \text{ 有原像}} + \underbrace{\text{单射}}_{\text{原像唯一}} \Longrightarrow S \text{ 是良定义函数};\qquad \underbrace{T \text{ 的线性性}}_{\text{把线性性传给 } S} \Longrightarrow S \text{ 是线性映射}.$$

也就是说，“能否定义出逆函数”用集合论（满射 $+$ 单射）；“逆函数是否线性”用代数。可逆线性映射的逆自动是线性的——这是线性结构白送的礼物，也解释了为什么定义 3.59 中我们可以直接要求”存在线性映射 $S$“，而无需担心”逆存在但非线性”这种情形。

2.5 Example: neither injectivity nor surjectivity implies invertibility (3.64)

虽然可逆映射很多，但不可逆的更多。

Example 3.64 (neither injectivity nor surjectivity implies invertibility)\

• $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 上乘 $x^2$ 的线性映射（见 lecture 5 例 3.3）是单射但不可逆的：它不满射，因为多项式 $1$ 不在值域中。
• $\mathbf{F}^\infty$ 上的后移算子 (backward shift)（见 lecture 5 例 3.3）是满射但不可逆的：它不单射，因为向量 $(1,0,0,\dots)$ 在零空间中。

逐条验证：

• 乘 $x^2$：若 $x^2p = x^2q$，则在多项式环中消去 $x^2$ 得 $p = q$，故单射；但非零像 $x^2p$ 的最低次项次数必为偶数且 $\ge 2$，故 $1 \notin \text{range}$，不满射。
• 后移算子 $T(x_1,x_2,x_3,\dots) = (x_2,x_3,\dots)$：满射，因为任意 $(y_1,y_2,\dots)$ 都有原像 $(a,y_1,y_2,\dots)$（$a \in \mathbf{F}$ 任意）；不单射，因为 $(1,0,0,\dots) \neq 0$ 却被映成 $0$。

这一对例子的意义：注意这两个反例都是算子——定义域与值域是同一个空间。对有限维空间上的算子，3.65 保证了”单射 $\iff$ 满射”，因此”单侧可以成立、另一侧不成立”的算子只可能出现在无限维空间。（在有限维但不同维数的两个空间之间，“单射不满射”或”满射不单射”当然常见：例如 $T(x,y) = (x,y,0)$ 从 $\mathbf{F}^2$ 到 $\mathbf{F}^3$ 单射不满射。3.65 的前提 $\dim V = \dim W$ 缺一不可。）

“单射/满射 $\Rightarrow$ 可逆”这条捷径的适用范围，恰恰由维数（有限性与同维数）划定。 这也预告了第 5.4 节那个求 $p$ 的例子（3.67）为什么必须小心地把问题限制到 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上。

2.6 Theorem: injectivity is equivalent to surjectivity (3.65)

Theorem 3.65 (injectivity is equivalent to surjectivity, if $\dim V = \dim W < \infty$)
设 $V, W$ 是有限维向量空间，$\dim V = \dim W$，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

$$T \text{ 可逆} \iff T \text{ 单射} \iff T \text{ 满射}.$$

证明：由线性映射基本定理 (3.21)，

$$\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T. \qquad 3.66$$

• 若 $T$ 单射（由 lecture 6 的 3.15，等价于 $\dim \text{null } T = 0$），则 $$\dim \text{range } T = \dim V - \dim \text{null } T = \dim V = \dim W,$$ 由 2.39（$W$ 的子空间与 $W$ 维数相同则两者相等），$\text{range } T = W$，即 $T$ 满射。
• 反之，若 $T$ 满射（即 $\text{range } T = W$），则 $$\dim \text{null } T = \dim V - \dim \text{range } T = \dim V - \dim W = 0,$$ 即 $\text{null } T = \{0\}$，由 3.15 得 $T$ 单射。

于是”单射 $\iff$ 满射”成立。因此只要 $T$ 单射或满射之一成立，它就两者都成立，从而由 3.63 可逆。证毕。$\blacksquare$

逻辑解读：基本定理 3.66 是一条信息守恒律。当输入端与输出端容量相同（$\dim V = \dim W$）时，“丢掉的维度 $+$ 送达的维度 $=$ 总额”就变成一道算术题：

$$\dim \text{null } T = 0 \iff \dim \text{range } T = \dim W.$$

维度预算没有多余余地——一处不丢，就必须处处送到；一处送达不到，就必然有东西被丢掉。这是”鸽笼原理”在线性代数里的精确版本。

验证单射通常便宜得多（只需解齐次方程 $Tv = 0$，确认只有零解），而验证满射要解一整族方程 $Tv = w$（$w$ 任意）。3.65 让我们只做容易的那一半，就免费得到难证的另一半。

2.7 Theorem: $ST = I \iff TS = I$ (3.68)

Theorem 3.68 ($ST = I \iff TS = I$, on spaces of the same dimension)
设 $V, W$ 是有限维且维数相同的向量空间，$S \in \mathcal{L}(W,V)$，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

$$ST = I \iff TS = I.$$

证明：先设 $ST = I$。若 $v \in V$ 且 $Tv = 0$，则

$$v = Iv = (ST)v = S(Tv) = S(0) = 0.$$

故 $T$ 单射（3.15）。因为 $\dim V = \dim W$，由 3.65 得 $T$ 可逆。

现在把 $ST = I$ 两边右乘 $T^{-1}$，得

$$S = T^{-1}.$$

于是 $TS = TT^{-1} = I$，如所求。反方向只需把 $S$ 与 $T$（以及 $V$ 与 $W$）的角色对调，重复上面的论证。证毕。$\blacksquare$

由 2.1 末尾的讨论，单侧逆严格弱于双侧逆：乘 $x^2$（单射但不满射）有左逆却没有右逆，后移算子（满射但不单射）有右逆却没有左逆——两者都只有”半个逆”。但 3.68 说：只要维数相等且有限，写出 $ST = I$ 一个等式就够，另一个会自动成立，并且 $S$ 就是那个唯一的 $T^{-1}$。这在实践中极其省事——这也是后面能用"$AB = I \Rightarrow BA = I$"（习题 3.D.24）来处理矩阵可逆性的根本原因。

读到这里，不妨请回忆 lecture 7 的伏笔——”$\mathcal{M}(T^{-1})\ 等于\ (\mathcal{M}(T))^{-1}$ 吗？“（3.86）——这与 3.68 是同一件事的两侧：映射侧的”左逆即逆”翻译到矩阵侧，就是”方阵的左逆即逆矩阵”。

3. Isomorphic Vector Spaces (同构的向量空间)

3.1 Definition: isomorphism, isomorphic (3.69)

Definition 3.69 (isomorphism, isomorphic)\

• 同构 (isomorphism) 就是可逆线性映射。
• 两个向量空间称为同构的 (isomorphic)，如果存在一个从其中一个到另一个之上 (onto) 的同构，即存在一个（满的）可逆线性映射。

前文 3.69 的表述弯弯绕绕，看似说了很多废话，可能会让人产生疑惑。明明可逆线性映射必然是满的，为什么还要强调 “onto”？
这其实只是沿用了 LADR 4e 里作者 Axler 的英文表述，作者强调了映射必须满射（值域 = 目标空间），否则”从 $V$ 到 $W$“可能只是”到 $W$ 的一部分”； 同时它必须单射（否则会有不同元素共用同一个新名字）。合起来，同构就是一个一一对应。 笔者猜测，这很可能是有助于读者理解同构本质（两个同构空间中的元素之间是 one-to-one corresponding 的，所以它们可以看作只有元素名字不一样的“相同”空间）的必要强调。

核心理念：把同构 $T: V \to W$ 理解为一次重新贴标签 (relabeling)——把 $v \in V$ 重新命名为 $Tv \in W$。因为 $T$ 保加法与数乘，

$$T(u+v) = Tu + Tv,\qquad T(\lambda v) = \lambda\,Tv,$$

$V$ 中的每一句代数陈述，在改名之后于 $W$ 中依然成立。这就是为什么”同构的向量空间享有完全相同的向量空间性质”。

Remark: 为什么同构必须是线性的？ “同构”（Isomorphism）的字面意思是“相同的结构”。数学对象 = 集合 + 结构。

• 如果我们只关心集合的“元素个数”，那么双射就足够了（这叫集合的“等势”）。
• 但向量空间不仅有元素，还有线性运算（加法与数乘） 这一核心结构。

要求同构映射 $T$ 必须是线性的（即 $T(u+v)=Tu+Tv, T(\lambda u)=\lambda Tu$），正是为了保证 $T$ 是一个 “结构保持映射”（structure-preserving map）。 如果 $T$ 只是双射而非线性（例如 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3$），它虽然能一一对应，但会破坏加法法则（$f(1+1) \neq f(1)+f(1)$），把空间“扭曲”了。只有线性映射，才能保证 $V$ 中的“平行四边形法则”和“直线伸缩”在 $W$ 中被完美保留。

简言之：双射保证了“元素一样多”，而线性保证了“运算规则一样”。两者结合，才是真正的“本质相同”。

“同构”与”可逆线性映射”指的是同一件事。想强调”两个空间本质相同”时用”同构”；只想说”这个映射有逆”时用”可逆”。

为什么这一点值得强调？ 对一般数学结构（群、拓扑空间……），判定”两个结构本质相同（同构）“往往非常困难，需要逐个检查运算是否被保持。而下面这条定理告诉我们：对有限维向量空间，判定同构只需看一个数字。

3.2 Theorem: dimension shows whether vector spaces are isomorphic (3.70)

Theorem 3.70 (dimension shows whether vector spaces are isomorphic)
$\mathbb{F}$ 上两个有限维向量空间同构，当且仅当它们有相同的维数。

证明：

($\Longrightarrow$) 设 $V, W$ 是同构的有限维空间，于是存在同构 $T$ 从 $V$ 到 $W$ 之上。因为 $T$ 可逆，由 3.63 有 $\text{null } T = \{0\}$ 与 $\text{range } T = W$，故

$$\dim \text{null } T = 0,\qquad \dim \text{range } T = \dim W.$$

把这两个值代入线性映射基本定理 (3.21) 的公式

$$\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T,$$

即得 $\dim V = \dim W$，一个方向证毕。

($\Longleftarrow$) 反向设 $V, W$ 是有限维且维数相同的空间。取 $V$ 的基 $v_1,\dots,v_n$ 与 $W$ 的基 $w_1,\dots,w_n$（两者长度相同，都是 $n$）。定义 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 为

$$T(c_1v_1 + \cdots + c_nv_n) = c_1w_1 + \cdots + c_nw_n.$$

• 良定义且线性：因为 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，每个 $v$ 的坐标表示唯一，故 $T$ 被上式唯一确定；线性性由坐标的线性性立即推出（这正是线性映射引理，见 lecture 5 的 3.4/3.5）。
• 满射：因为 $w_1,\dots,w_n$ 生成 $W$（它是基）。
• 单射：因为 $w_1,\dots,w_n$ 线性无关：若 $c_1w_1 + \cdots + c_nw_n = 0$，则所有 $c_k = 0$，于是 $\text{null } T = \{0\}$。

故 $T$ 既单射又满射，由 3.63 是同构，从而 $V$ 与 $W$ 同构。证毕。$\blacksquare$

这条定理的深远含义：

1. “维数”是有限维向量空间的完备不变量 (complete invariant)。两个有限维空间要么完全一样（同构），要么差别仅仅体现在维数这一个数字上。
2. 每个 $n$ 维空间都”就是” $\mathbf{F}^n$：由 3.70，$V \cong \mathbf{F}^n$（$n = \dim V$）。例如 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F}) \cong \mathbf{F}^{m+1}$，$\mathbf{F}^{m,n} \cong \mathbf{F}^{mn}$。
3. Axler 的反问与回答：既然每个有限维空间都同构于某个 $\mathbf{F}^n$，为什么不干脆只研究 $\mathbf{F}^n$？ 答案是：尽管你只想研究 $\mathbf{F}^n$，但会很快你会被逼得研究别的向量空间——例如线性映射的零空间与值域。虽然它们各自都同构于某个 $\mathbf{F}^m$，但把它们想成 $\mathbf{F}^m$ 只会增加复杂度，却不会带来新的洞察。数学是一个要不断定义新东西、找寻新角度的学科，并非如物理那样奢求一个大一统理论。同构是仅是一种理解问题的角度，而不是”必须使用的替换”。

（回顾 lecture 7 的伏笔）：lecture 7 的 2.3 说”矩阵可以视作映射在特定坐标系下的照片；照片会变，对象没变”。3.70 就是这句话的严格版本——换基就是同构。

3.3 Theorem: $\mathcal{L}(V,W)$ and $\mathbf{F}^{m,n}$ are isomorphic (3.71)

现在兑现引言里的承诺：翻译机器 $\mathcal{M}$ 本身是可逆的。

Definition 3.71 (Theorem: $\mathcal{L}(V,W)$ and $\mathbf{F}^{m,n}$ are isomorphic) 设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基。则 $\mathcal{M}$ 是 $\mathcal{L}(V,W)$ 与 $\mathbf{F}^{m,n}$ 之间的同构。（此条在 LADR 4e 中编号为 3.71，正文以定理形式给出。）

证明：在 lecture 7 的 3.35 与 3.38 中我们已经证明了

$$\mathcal{M}(S+T) = \mathcal{M}(S) + \mathcal{M}(T),\qquad \mathcal{M}(\lambda T) = \lambda\mathcal{M}(T),$$

所以 $\mathcal{M}$ 是线性映射。下面证明它单射且满射。

单射：设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 且 $\mathcal{M}(T) = 0$。于是 $\mathcal{M}(T)$ 的每一列都是零列；由 3.75（即 $\mathcal{M}(T)_{\cdot,k} = \mathcal{M}(Tv_k)$）得

$$Tv_k = 0 \quad\text{for } k = 1,2,\dots,n.$$

因为 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$T$ 在基上的作用全为零就意味着 $T = 0$（线性映射引理：映射由基上的作用唯一决定），即 $\text{null}\ T = \{0\}$。故由 3.15，$\mathcal{M}$ 单射。

满射： $\forall\ A \in \mathbf{F}^{m,n}$，由线性映射引理，存在 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 使得

$$Tv_k = \sum_{j=1}^{m} A_{j,k} w_j \quad\text{for } k = 1,2,\dots,n.$$

按定义 3.31，这正好意味着 $\mathcal{M}(T) = A$。故 $\text{range}\ \mathcal{M} \supseteq \mathbf{F}^{m,n} \Longrightarrow\ \text{range}\ \mathcal{M} = \mathbf{F}^{m,n}$ 即 $\mathcal{M}$ 满射。$\blacksquare$

至此，我们把 lecture 7 与 lecture 8 串联起来了。lecture 7 的所有结论都建立在”$\mathcal{M}$ 忠实且完备”这个隐含假设上；3.71 把它变成了定理：

$$\boxed{\ \mathcal{M}: \mathcal{L}(V,W) \xrightarrow{\ \cong\ }\ \mathbf{F}^{m,n}\ }$$

“两组基选好之后，线性映射与矩阵是同一件事的两种写法”——这不再是比喻，而是被我们证明的同构的严格陈述。

3.4 Theorem: $\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)$ (3.72)

Theorem 3.72
设 $V, W$ 有限维。则 $\mathcal{L}(V,W)$ 有限维，且

$$\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W).$$

证明：由 3.71，$\mathcal{L}(V,W) \cong \mathbf{F}^{m,n}$（$n = \dim V$，$m = \dim W$）。同构的有限维空间维数相同（3.70），而 $\dim \mathbf{F}^{m,n} = mn$（lecture 7 的 3.40）。故

$$\dim \mathcal{L}(V,W) = mn = (\dim V)(\dim W). \quad\blacksquare$$

在这之前，定理 3.72 是一件很难说明的事，尽管我们直觉上认为它应当成立。

为了证明这件事，我们之前需要把矩阵的每个元素都写出来：构造 $m \times n$ 个只有一个元素为 $1$，其余为 $0$ 的矩阵，验证它们组合成的列表是所有 $m \times n$ 矩阵组成空间的基，然后用线性映射引理去对应一个个 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。 但现在我们借由 $3.40 + 3.70 + 3.71 \Rightarrow 3.72$，能够很简短地说明这件事。这个数字 $mn$ 与 lecture 7 中”$\mathbf{F}^{m,n}$ 的基是 $mn$ 个只有一个元素为 $1$ 的矩阵”完全吻合——现在我们知道，那些矩阵在 $\mathcal{M}^{-1}$ 之下的原像，正是 $\mathcal{L}(V,W)$ 的一组自然基。

这个证明的简化也体现了 Axler 的思想——抛弃矩阵，可以让你的证明精简一半。

3.5 Example: an isomorphism $\mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2\times 2}$

Example 3.5 (一个从 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 到 $\mathbb{R}^{2\times 2}$ 的同构)
定义 $T : \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2\times2}$ 为

$$T(f) = \begin{pmatrix} f(1) & f(2)\\ f(3) & f(4) \end{pmatrix}.$$

证明 $T$ 线性且单射；又因为 $\dim \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) = \dim \mathbb{R}^{2\times2}$，故 $T$ 是从 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 到 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 之上的同构。

解：

• 线性：$f \mapsto f(t)$ 对每个固定的 $t$ 都是线性的（求值映射 $\text{ev}_t$ 线性），即 $(f + g)(t) = f(t) + g(t),\ (\lambda f)(t)=\lambda \cdot f(t)$，而矩阵的四个位置各自是求值映射；“按位置线性” $=$ “矩阵整体线性”。形式上， $$T(f+g) = \begin{pmatrix} (f+g)(1) & (f+g)(2)\\ (f+g)(3) & (f+g)(4)\end{pmatrix} = T(f) + T(g),$$ 齐性同理。
• 单射：设 $f \in \text{null } T$，即 $f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0$。于是 $f$ 有四个互不相同的根 $1,2,3,4$。但 $\deg f \le 3$，而非零多项式 $f$ 的根的个数不超过其次数，矛盾，除非 $f = 0$。故 $\text{null } T = \{0\}$，$T$ 单射。
• 收尾：$\dim \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) = 4 = \dim \mathbb{R}^{2\times2}$，由 3.65，单射的 $T$ 自动满射，故 $T$ 是同构。

这道例题是本讲思想的最佳示范：我们从未解出任何一个 $f$，也从未写出 $T^{-1}$ 的公式，却已经知道 $T$ 可逆、知道 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 中每个矩阵都对应唯一一个三次多项式。省力的原因正是 3.65 与 3.70：维数配平 $+$ 单射 $=$ 同构。

4. Linear Maps Thought of as Matrix Multiplication (把线性映射看作矩阵乘法)

本节把 lecture 7 中已经建立的三个概念——线性映射的矩阵、向量的矩阵、矩阵乘法——正式缝合成一条定律，并顺手给出”映射维数 $=$ 矩阵列秩”这个重要推论。

4.1 Definition: matrix of a vector

这两个条目已在 lecture 7 的 2.5 节完整给出（那里的 定义 3.73 与 Example 3.74），此处不再重复陈述，只补两句重新理解：

向量 $v \in V$ 的矩阵 $\mathcal{M}(v)$ 同时依赖于 $v$ 和 $V$ 的基 $v_1,\dots,v_n$。但基通常由上下文明确，故不写进记号 $\mathcal{M}(v)$ 中。

一个重要的重新理解：有时候我们故意把 $V$ 的元素想成 $n$-by-$1$ 矩阵。一旦选定基 $v_1,\dots,v_n$，映射 $v \mapsto \mathcal{M}(v)$ 就是 $V$ 到 $\mathbf{F}^{n,1}$ 之上的一个同构——它正是实施这次”重贴标签”的同构。

与 3.71 的关系：3.71 说的是映射空间 $\mathcal{L}(V,W)$ 与矩阵空间 $\mathbf{F}^{m,n}$ 同构；这里说的是向量空间 $V$ 与列空间 $\mathbf{F}^{n,1}$ 同构。一个是”把映射变成矩阵”，一个是”把向量变成列”。两者合起来，整个线性代数的世界可以被完整地搬进数字阵列的世界。

4.2 Proposition: $\mathcal{M}(T)_{\cdot,k} = \mathcal{M}(Tv_k)$ (3.75)

回忆（lecture 7 的 Notation 3.44）：若 $A$ 是 $m$-by-$n$ 矩阵，则 $A_{\cdot,k}$ 表示 $A$ 的第 $k$ 列（视为 $m$-by-$1$ 矩阵）。在下面这个结果中，$\mathcal{M}(Tv_k)$ 关于 $W$ 的基 $w_1,\dots,w_m$ 计算。

Proposition 3.75 ($\mathcal{M}(T)_{\cdot,k} = \mathcal{M}(Tv_k)$) 设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基。设 $1 \le k \le n$。则 $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列（记作 $\mathcal{M}(T)_{\cdot,k}$）等于 $\mathcal{M}(Tv_k)$。

证明：由 定义 3.31 与 定义 3.73 立即得到。具体地，定义 3.31 说

$$Tv_k = \sum_{j=1}^{m} A_{j,k}w_j,$$

所以 $Tv_k$ 关于 $w_1,\dots,w_m$ 的坐标列恰好是 $(A_{1,k},\dots,A_{m,k})^t$；而这正是 $A = \mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列。$\blacksquare$

这是 lecture 7 的 2.3（“第 $k$ 列是 $Tv_k$ 的坐标”）的正式编号版本。“矩阵的列”就是”基向量的像”。

4.3 Theorem: linear maps act like matrix multiplication

定理 3.76 已在 lecture 7 的 2.5 节陈述并给出推导，本讲为它补上完整证明：设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$，$v \in V$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基，则

$$\mathcal{M}(Tv) = \mathcal{M}(T)\,\mathcal{M}(v).$$

证明：设 $v = b_1v_1 + \cdots + b_nv_n$，其中 $b_1,\dots,b_n \in \mathbf{F}$。于是

$$3.77\qquad Tv = b_1Tv_1 + \cdots + b_nTv_n.$$

故

$$\begin{aligned} \mathcal{M}(Tv) &= b_1\mathcal{M}(Tv_1) + \cdots + b_n\mathcal{M}(Tv_n) &&\text{（由 3.77 与 } \mathcal{M} \text{ 的线性性）}\\ &= b_1\mathcal{M}(T)_{\cdot,1} + \cdots + b_n\mathcal{M}(T)_{\cdot,n} &&\text{（由 3.75）}\\ &= \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v). &&\text{（由 3.50：矩阵乘向量 = 列的线性组合）} \end{aligned}$$

$\blacksquare$

逻辑解读（“翻译词典”第二次被验证）：lecture 7 的 2.5 曾用这条恒等式来解释矩阵乘向量为什么要那样定义；现在它有了正式编号与完整证明。注意逻辑顺序是反的——我们先用”复合必须被翻译为乘积”这条要求定义出矩阵乘法（lecture 7 的 3.41），然后 3.76 才能用 3.50（列的线性组合）来收尾。整条链条是：

$$\mathcal{M}(ST) = \mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)\ \text{（3.43，定义矩阵乘法的动机）}\ \Longrightarrow\ \mathcal{M}(Tv) = \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)\ \text{（3.76，特例）}.$$

推论：每个 $m$-by-$n$ 矩阵 $A$ 都诱导一个从 $\mathbf{F}^{n,1}$ 到 $\mathbf{F}^{m,1}$ 的线性映射，即 $x \mapsto Ax$。结合 3.71 与 3.73，我们可以说：

通过 $\mathcal{M}$ 给出的同构作”重贴标签”之后，每个线性映射都是某个矩阵的乘法。

具体地，若 $T \in \mathcal{L}(V,W)$，把 $v \in V$ 与 $\mathcal{M}(v) \in \mathbf{F}^{n,1}$ 等同起来，则 3.76 说我们可以把 $Tv$ 与 $\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$ 等同起来。

这个矩阵 $A = \mathcal{M}(T)$ 不仅依赖 $T$，还依赖基的选择。同一句话在不同基下有不同长相——“选择一组合适的基，使矩阵 $A$ 尽可能简单”将是本书后续许多最重要结果的主题（对角化、Jordan 形……），也正是 lecture 7 留下的伏笔 3.84（基变换公式 $A = C^{-1}BC$）。

4.4 Theorem: $\dim \text{range } T = \text{column rank } \mathcal{M}(T)$ (3.78)

Theorem 3.78 (dimension of range $T$ equals column rank of $\mathcal{M}(T)$) 设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则 $\dim \text{range } T$ 等于 $\mathcal{M}(T)$ 的列秩 (column rank)。

证明：设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基。把 $w \in W$ 映到 $\mathcal{M}(w)$ 的线性映射是 $W$ 到 $m$-by-$1$ 列向量空间 $\mathbf{F}^{m,1}$ 之上的同构（3.73、3.70）。把这个同构限制在 $\text{range } T$ 上，得到一个从 $\text{range } T$ 到

$$\text{span}\big(\mathcal{M}(Tv_1),\dots,\mathcal{M}(Tv_n)\big)$$

之上的同构（这里用了习题 3.B.10：$\text{range } T = \text{span}(Tv_1,\dots,Tv_n)$）。对每个 $k \in \{1,\dots,n\}$，$m$-by-$1$ 矩阵 $\mathcal{M}(Tv_k)$ 等于 $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列（3.75）。因此

$$\dim \text{range } T = \dim \text{span}\big(\mathcal{M}(T)_{\cdot,1},\dots,\mathcal{M}(T)_{\cdot,n}\big) = \text{column rank } \mathcal{M}(T).\quad\blacksquare$$

注意定理陈述中”看不到任何基”：$\mathcal{M}(T)$ 本身依赖基的选择，但 3.78 说明它的列秩与基的选择无关（因为 $\text{range } T$ 与基的选择无关）。这条定理是 lecture 7 留下的三个问题的直接答案：

$$\text{矩阵的秩 (3.58)} = \text{column rank } \mathcal{M}(T) \overset{\text{3.78}}{=} \dim \text{range } T, \qquad \text{column rank } \overset{\text{3.57}}{=} \text{row rank}.$$

于是 lecture 7 的 7 节前瞻中”列秩/行秩是什么？与 $\dim \text{range } T$ 有何关系？“至此彻底落地——矩阵的秩就是它所代表的映射的秩。

5. Operators (算子)

编号说明：本节各条在讲义幻灯片上编号为 3.67–3.69。按 LADR 第四版（下称教材）的编号：幻灯片上标作 3.68 的两个反例在教材里是 3.64（与第 2.5 节同一条），幻灯片上标作 3.69 的等价性定理在教材里是 3.65（与第 2.6 节同一条），而”算子”的定义在教材里单独放在 Section 5A 开篇的 5.1。本节各条一律改用教材编号，并在必要处注明与讲义幻灯片的对应关系。

5.1 Definition: operator, $\mathcal{L}(V)$

Definition 5.1 (operator, $\mathcal{L}(V)$)\

• 从一个向量空间到自身的线性映射称为算子 (operator)。
• 记号 $\mathcal{L}(V)$ 表示 $V$ 上所有算子构成的集合。换言之，$\mathcal{L}(V) = \mathcal{L}(V,V)$。

为什么算子值得单独命名？ 因为线性代数最深刻、最重要的部分（以及本书后续的大部分内容）研究的正是算子。算子相对一般线性映射有三个结构性红利：

1. 可以复合任意多次：$T \in \mathcal{L}(V)$ 使 $T^2, T^3, \dots, T^m$ 都有意义（一般 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 只能复合一次）。于是”算子的幂”、“多项式作用于算子”成为可用工具。
2. 同维数条件自动满足：$W = V$ 时 $\dim V = \dim W$ 免费成立，因此 3.65、3.68 这类”维数配平”定理对算子无条件适用（本节两条见 定理 3.65 与 定理 3.68）。
3. 一个基就够：描述 $T \in \mathcal{L}(V)$ 时定义域与值域可用同一组基，记号简化为 $$\mathcal{M}(T,(v_1,\dots,v_n)) := \mathcal{M}(T,(v_1,\dots,v_n),(v_1,\dots,v_n)),$$ 矩阵成为方阵，于是”逆矩阵”、“行列式”等概念才有立足点。

5.2 Example: neither injectivity nor surjectivity implies invertibility (教材 3.64)

定理 3.63 告诉我们：线性映射可逆 $\iff$ 单射且满射。

对算子这一特殊的线性映射，我们自然会问：判定可逆的条件能不能更少？单射单独够不够？满射单独够不够？

Example 3.64 即第 2.5 节的那条例子，只是按”算子”的视角重述：在无限维向量空间上，两个条件各自都不足以推出可逆：

• $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上乘 $x^2$ 的算子是单射但不是满射。
• $\mathbf{F}^\infty$ 上的后移算子 (backward shift) 是满射但不是单射。

逐条核对：

• 乘 $x^2$：单射（$x^2p = 0 \Rightarrow p = 0$），但不满射——常数多项式 $1$ 不是任何多项式的 $x^2$ 倍。
• 后移算子 $T(x_1,x_2,x_3,\dots) = (x_2,x_3,\dots)$：满射（任意 $(y_1,y_2,\dots)$ 都有原像 $(0,y_1,y_2,\dots)$，甚至还有一整族原像），但不单射（$(1,0,0,\dots) \in \text{null } T$ 且非零）。

这两个反例的定义域与值域是同一个空间，所以它们确实是算子，于是我们先前”对算子而言单侧条件或许足够”这一猜想——至少在无限维时——是不成立的。

不过聪明的你应该已经发现上面两个例子都利用了无限维的性质，你大概已经猜到——有限维空间中，这个说法应该是成立的。下一节我们就来证明——有限维时这个猜想恰好成立。

5.3 Theorem: injectivity is equivalent to surjectivity in finite dimensions

下面证明 定理 3.65 在算子上的特例：设 $V$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V)$。则以下三条等价：

• (a) $T$ 可逆；
• (b) $T$ 是单射；
• (c) $T$ 是满射。

证明：因为 $V$ 有限维且 $\dim V = \dim V$，定理 3.65 直接适用，得

$$T \text{ 可逆} \iff T \text{ 单射} \iff T \text{ 满射}. \quad\blacksquare$$

这条定理为何”remarkable”（Axler 的原话）？ 对照 Example 3.64：在无限维时 (b) 与 (c) 可以一真一假；而在有限维时它们互相蕴含。差别只来自一个词——有限维。又是维度预算的算术：

$$\dim \text{null } T + \dim \text{range } T = \dim V \quad\text{（3.66）}$$

左边两项必须同时吃掉总量 $\dim V$，所以”一项为 $0$“与”另一项吃掉全部”是同一件事。

实践上的巨大便利：检查算子是否可逆时，我们只需检查单射——即解齐次方程 $Tv = 0$，确认只有零解。满射性是免费的赠品。 这就是为什么”求零空间”在线性代数中是一个如此高频的动作。

还记得 定理 3.68 说，对有限维同维数的 $S, T$，$ST = I$ 已足以推出 $S = T^{-1}$；定理 3.65 是同一个”维数配平”红利的另一种表述。

5.4 Example: there exists $p$ such that $((x^2+5x+7)p)'' = q$ (3.67)

下面这个例子展示 定理 3.65 的威力：一个纯分析味道的存在性问题，被线性代数一击解决。

Example 3.67
证明：对每个多项式 $q \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$，都存在多项式 $p \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$ 使得

$$\big((x^2+5x+7)p\big)'' = q.$$

天真的尝试：线性映射

$$p \mapsto \big((x^2+5x+7)p\big)''$$

从 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 到自身也是单射（同一个论证即可验证）。于是我们很想用 定理 3.65 断言它满射。但 Example 3.64 警告我们：定理 3.65 的魔力不适用于无限维空间 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$。 单射在这里只意味着该映射在无限维空间上”不丢信息”，它完全可以像”乘 $x^2$“那样不送达全部。

补救：注意每个非零多项式 $q$ 都有某个次数 $m$。把注意力限制到有限维空间 $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ 上——在这个有限维世界里，定理 3.65 重新生效；而且我们只需要”送达”这一个特定的 $q$，不必要求它送达整个 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$。

解：设 $q \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$。存在非负整数 $m$ 使 $q \in \mathcal{P}_m(\mathbf{R})$。定义 $T : \mathcal{P}_m(\mathbf{R}) \to \mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ 为

$$Tp = \big((x^2+5x+7)p\big)''.$$

• $T$ 确实是 $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ 上的算子：非零多项式乘以 $(x^2+5x+7)$ 使次数 $+2$，随后求两次导使次数 $-2$，净效果不增加次数，故 $Tp \in \mathcal{P}_m(\mathbf{R})$。
• $T$ 单射：二阶导数为 $0$ 的多项式必形如 $ax+b$（$a,b \in \mathbf{R}$）。而 $ax+b$ 要能写成 $(x^2+5x+7)p$ 这种形式，当且仅当它等于零多项式——因为 $x^2+5x+7$ 在 $\mathbf{R}$ 上无实根（判别式 $25 - 28 = -3 < 0$），它不能整除任何非零的次数 $\le 1$ 的多项式。故 $$\text{null } T = \{0\},$$ 即 $T$ 单射。
• 由 定理 3.65，$T$ 满射：于是存在 $p \in \mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ 使 $\big((x^2+5x+7)p\big)'' = q$，正是所要求的。

这个例子的方法论价值：当一个无限维问题让你无从下手时，试着把它限制到一个有限维的子空间上。 因为 $q$ 只有有限次，我们总能选到足够大的 $m$；一旦进入有限维，“单射即可逆”的魔法就生效了。（Axler 提到，这个结论不用线性代数也能证明，但线性代数的证明更干净、更容易。）

Exercise 35 in Section 6.A（第三版中编号为 “Exercise 30 in Section 6.A”）给出了 定理 3.65 的一个类似但更壮观的同类应用——那个结论不用线性代数相当难证。

5.5 算子：本讲之后的舞台中心

性质	一般线性映射 $T \in \mathcal{L}(V,W)$	算子 $T \in \mathcal{L}(V)$
幂 $T^2, T^3, \dots$	一般无意义（除非 $W = V$）	总有意义
多项式 $p(T)$ 作用于 $T$	一般无意义	总有意义（5A 起）
$\dim V = \dim W$	需额外假设	自动成立
3.65 / 3.68 是否适用	需 $\dim V = \dim W$	无条件适用
矩阵 $\mathcal{M}(T)$	$m$-by-$n$ 长方形	$n$-by-$n$ 方阵
可逆性判据	需同时验证单射与满射	只需验证单射

6. 本讲概念映射 (Summary)

关心的问题	精确形式	编号
”能否定义反向映射”	存在 $S \in \mathcal{L}(W,V)$ 使 $ST = I_V,\ TS = I_W$	3.59
”逆是否唯一”	可逆映射有唯一逆，故可记作 $T^{-1}$	3.60, 3.61
”可逆性如何检验”	$T$ 可逆 $\iff$ $T$ 单射且满射	3.63
”单侧逆够不够”	有限维同维数时 $ST = I \iff TS = I$，且 $S = T^{-1}$	3.68
”两个空间何时只是名字不同”	存在可逆线性映射 $\iff$ 称为同构	3.69
”怎么判断同构”	有限维时 $\iff$ 维数相同（唯一的数字）	3.70
”翻译机器 $\mathcal{M}$ 可靠吗”	$\mathcal{L}(V,W) \cong \mathbf{F}^{m,n}$，$\dim = (\dim V)(\dim W)$	3.71, 3.72
”映射的作用 $=$ 矩阵乘法”	$\mathcal{M}(Tv) = \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$；$\mathcal{M}(T)_{\cdot,k} = \mathcal{M}(Tv_k)$	3.75, 3.76
”秩的两种定义能否合一”	$\dim \text{range } T = \text{column rank } \mathcal{M}(T)$	3.78
”算子的特权”	有限维时 单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆	3.65
”有限维时单侧逆是否足够”	$ST = I \iff TS = I$，且 $S = T^{-1}$	3.68

一条主线：

可逆性 (3.59–3.63) 把”能还原输入”翻译成”单射 $+$ 满射”；同构 (3.69) 把”两个空间本质相同”翻译成”存在可逆线性映射”；维数 (3.70) 把这个存在性问题压缩成一个数字的比较；而 $\mathcal{M}$ 的同构性 (3.71) 说明线性映射的世界与矩阵的世界是同一个世界的两种记法。最后，对算子而言单射与满射等价 (3.69)——这是维数配平送给我们的最实用的一份礼物。

本讲回答了”能否还原”与”能否等同”两个问题，而两个答案都归结为维数算术：

$$\dim \text{null } T + \dim \text{range } T = \dim V.$$

7. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

• 基变换：换基时矩阵如何变化？3.82（$\mathcal{M}(I,(u),(v))$ 与 $\mathcal{M}(I,(v),(u))$ 互为逆）与 3.84（$A = C^{-1}BC$）已在 3D 末尾给出答案——但如何选基使 $A$ 最简？这正是后续”对角化”的起点。
• 矩阵与映射的可逆性对应：$\mathcal{M}(T^{-1}) = (\mathcal{M}(T))^{-1}$ (3.86)；进一步，$\mathcal{M}(T)$ 可逆 $\iff$ $T$ 可逆（习题 3.D.22）。
• $\mathcal{M}$ 是同构的推论：既然 $\mathcal{L}(V,W) \cong \mathbf{F}^{m,n}$，那么 $\mathcal{L}(V,W)$ 上的每一个概念都应在 $\mathbf{F}^{m,n}$ 上有对应物。例如”复合”对应”乘法”（3.43）、“逆”对应”逆矩阵”（3.86）、“对偶”对应”转置”（3F 预告）。
• 算子上的额外结构：$\mathcal{L}(V)$ 不只是向量空间，还带乘法（复合）与单位元（$I$）——它是一个代数。对算子的研究（特征值、不变子空间、极小多项式）将从 5A 开始。
• 定理 3.65 的更多应用：Axler 6.A 习题 35 是 定理 3.65 的一个同类但更壮观的用例。
• 秩的完整图像：$\dim \text{range } T = \text{column rank } \mathcal{M}(T)$ (3.78)，配合行秩 $=$ 列秩 (3.57) 给出 3C 的答案；秩与可逆性、与方程组解的结构的关系将在第四、五章继续展开。
• 原像的几何：3.63 的证明中”对每个 $w$ 取唯一原像”的构造，本质上是在说 $T$ 是 $V/\text{null } T$ 与 $\text{range } T$ 之间的同构——这正是 lecture 6 前瞻中预告的商空间视角（3E 展开）。

8. Exercises (Homework Assignment 8: LADR 3.D: 1, 5, 7, 10, 14, 18)

题号	考查内容
3.D.1	$T$ 可逆 $\Rightarrow$ $T^{-1}$ 可逆且 $(T^{-1})^{-1} = T$（求逆是对合）
3.D.5	子空间上单射的 $S$ 何时可延拓为整个 $V$ 上的可逆算子：$\iff$ $S$ 单射
3.D.7	$\text{range } S = \text{range } T \iff S = TE$（$E$ 为可逆算子）——值域刻画
3.D.10	$\mathcal{E} = \{T : U \subseteq \text{null } T\}$ 是子空间，并用同构 $+$ 基本定理求其维数
3.D.14	有限维时 $RST$ 满射 $\Rightarrow$ $S$ 单射（3.65 的连锁应用）
3.D.18	$V \cong \mathcal{L}(\mathbf{F},V)$（构造同构，或用 3.70 的维数判据）

3.D.1

Suppose $T \in \mathcal{L}(V, W)$ is invertible. Show that $T^{-1}$ is invertible and

$$(T^{-1})^{-1} = T.$$

solution:

按 3.59 的定义，$T^{-1} \in \mathcal{L}(W,V)$ 满足

$$T^{-1}T = I_V \quad (\text{作用在 } V \text{ 上}),\qquad TT^{-1} = I_W \quad (\text{作用在 } W \text{ 上}).$$

要证 $T^{-1}$ 可逆，只需指出存在一个线性映射——即 $T$——充当它的逆。把上面两式当作关于 $T^{-1}$ 的陈述来读：$TT^{-1} = I_W$ 说明”先 $T^{-1}$ 后 $T$ 还原输出”，$T^{-1}T = I_V$ 说明”先 $T$ 后 $T^{-1}$ 还原输入”——合起来正是 $T$ 与 $T^{-1}$ 互为逆。按定义 3.59，$T^{-1}$ 可逆。再由 3.60 逆的唯一性，$T^{-1}$ 的逆就是那个唯一记作 $(T^{-1})^{-1}$ 的映射，故

$$(T^{-1})^{-1} = T. \qquad\blacksquare$$

要点：可逆性是一个对称关系——”$S$ 是 $T$ 的逆”与”$T$ 是 $S$ 的逆”是同一句话。故求逆是一个对合 (involution)：做两次回到原处。这也说明 3.59 定义中两条等式缺一不可，否则这个对称性就无从谈起。

3.D.5

Suppose $V$ is finite-dimensional, $U$ is a subspace of $V$, and $S \in \mathcal{L}(U, V)$. Prove that there exists an invertible linear map $T$ from $V$ to itself such that $Tu = Su$ for every $u \in U$ if and only if $S$ is injective.

solution:

($\Longleftarrow$) 设 $S$ 单射。我们要把 $S$ 从 $U$ “长”成 $V$ 上一个可逆的算子。

第一步：$S$ 把 $U$ 同构地搬到 $\text{range } S$ 上。 由 3.15，$\text{null } S = \{0\}$，故 $S: U \to \text{range } S$ 是单射且（按值域的定义）满射，因此

$$\dim \text{range } S = \dim U =: r.$$

第二步：$S^{-1}$ 存在，可用于把 $U$ 的基搬过去。 取 $U$ 的一组基 $u_1,\dots,u_r$。因为 $S$ 单射，像列表

$$Su_1,\dots,Su_r$$

线性无关（若 $\sum c_k Su_k = 0$ 则 $S(\sum c_k u_k) = 0$，由单射得 $\sum c_k u_k = 0$，再由 $u_k$ 线性无关得所有 $c_k = 0$）。又它共有 $r = \dim \text{range } S$ 个向量，故 $Su_1,\dots,Su_r$ 是 $\text{range } S$ 的一组基。

第三步：扩充为 $V$ 的两组基。 由基扩充定理：

• 把 $u_1,\dots,u_r$ 扩充为 $V$ 的基 $$u_1,\dots,u_r,\ v_1,\dots,v_{n-r} \qquad (n := \dim V);$$
• 把 $Su_1,\dots,Su_r$ 扩充为 $V$ 的基 $$Su_1,\dots,Su_r,\ w_1,\dots,w_{n-r}.$$

第四步：用线性映射引理定义 $T$。 由线性映射引理，存在唯一的 $T \in \mathcal{L}(V)$ 使得

$$Tu_k = Su_k \ (k=1,\dots,r), \qquad Tv_j = w_j \ (j=1,\dots,n-r).$$

即 $T$ 把 $V$ 的一组基 $(u_1,\dots,u_r,v_1,\dots,v_{n-r})$ 映到 $V$ 的另一组基 $(Su_1,\dots,Su_r,w_1,\dots,w_{n-r})$。

第五步：$T$ 可逆。 若 $Tv = 0$，把 $v$ 用第一组基展开：$v = \sum_k a_k u_k + \sum_j b_j v_j$。则

$$0 = Tv = \sum_k a_k Su_k + \sum_j b_j w_j.$$

由第二组基线性无关，所有 $a_k = b_j = 0$，故 $v = 0$。于是 $\text{null } T = \{0\}$，$T$ 单射；又 $V$ 有限维，由 定理 3.65，单射的 $T$ 可逆。（也可以说”$T$ 把基映成基”直接得可逆，见习题 3.D.3。）

第六步：$T|_U = S$。 $T$ 与 $S$ 在 $U$ 上都是线性映射，且它们在 $U$ 的基 $u_1,\dots,u_r$ 上取值相同（$Tu_k = Su_k$）。由线性映射引理（基上的作用决定映射），$Tu = Su$ 对一切 $u \in U$ 成立。$\checkmark$

($\Longrightarrow$) 设存在可逆的 $T \in \mathcal{L}(V)$ 使 $T|_U = S$。若 $u \in \text{null } S$，则

$$Tu = Su = 0,$$

由 $T$ 单射（3.63 或 定理 3.65）得 $u = 0$。故 $\text{null } S = \{0\}$，$S$ 单射。$\blacksquare$

要点：这条习题是”单射映射可以延拓为可逆映射”的精确版本。难点全部集中在数基向量的个数上：因为 $S$ 单射，$\dim \text{range } S = \dim U = r$，所以像侧只剩 $n - r$ 个”空位”需要补，而定义域侧恰好也只剩 $n - r$ 个方向——两边数量完全匹配，扩充是可能的。若 $S$ 不单射，则 $\dim \text{range } S < \dim U$，像侧会”塌缩”，$T$ 无论如何都补不成单射。维数必须配平，又是本讲的主旋律。

3.D.7

Suppose that $V$ is finite-dimensional and $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Prove that

$$\text{range } S = \text{range } T$$

if and only if there exists an invertible $E \in \mathcal{L}(V)$ such that $S = TE$.

solution:

($\Longleftarrow$) 设 $S = TE$，其中 $E \in \mathcal{L}(V)$ 可逆。

• $\text{range } S \subseteq \text{range } T$：若 $w = Sv$，则 $w = T(Ev)$，故 $w \in \text{range } T$。
• $\text{range } T \subseteq \text{range } S$：由 3.65，可逆的 $E$ 是满射，故任取 $v \in V$ 都存在 $u$ 使 $Eu = v$。于是 $Tv = T(Eu) = Su \in \text{range } S$。

故 $\text{range } S = \text{range } T$。

($\Longrightarrow$) 设 $\text{range } S = \text{range } T =: R$，并记 $r = \dim R$、$k = \dim V - r$。

第一步：把两个映射都”分解”成”核 $+$ 有效部分”。 取 $\text{null } S$ 的一组基 $u_1,\dots,u_k$，由基扩充定理扩充为 $V$ 的基

$$u_1,\dots,u_k,\ c_1,\dots,c_r,$$

并令 $C = \text{span}(c_1,\dots,c_r)$。于是 $V = \text{null } S \oplus C$，且 $S|_C$ 是 $C$ 到 $R$ 之上的同构：

• $S|_C$ 单射：若 $Sc = 0$ 且 $c \in C$，则 $c \in C \cap \text{null } S = \{0\}$；
• $\dim C = r = \dim R$，由 3.65，单射的 $S|_C$ 是 $C \to R$ 的同构。

同理，取 $\text{null } T$ 的一组基 $w_1,\dots,w_k$。这里要用到由 3.66 与 $\text{range } S = \text{range } T$ 得到的等式

$$\dim \text{null } T = \dim V - \dim \text{range } T = \dim V - \dim R = k = \dim \text{null } S,$$

因此 $\text{null } T$ 的基确实有 $k$ 个向量。把它扩充为 $V$ 的基

$$w_1,\dots,w_k,\ c'_1,\dots,c'_r,$$

并令 $C' = \text{span}(c'_1,\dots,c'_r)$。则 $V = \text{null } T \oplus C'$，且 $T|_{C'}$ 是 $C'$ 到 $R$ 之上的同构（与上面完全相同的论证：$T|_{C'}$ 单射，且 $\dim C' = r = \dim R$）。

第二步：在”有效部分”之间建立同构。 因为 $S|_C$ 与 $T|_{C'}$ 都是到同一个 $R$ 上的同构，它们的复合

$$\Phi := \big(T|_{C'}\big)^{-1} \circ \big(S|_C\big) \ :\ C \xrightarrow{\ \cong\ }\ C'$$

是 $C$ 到 $C'$ 的同构（两个同构的复合）。

第三步：把两块拼起来定义 $E$。 固定任意一个线性同构

$$\Theta : \text{null } S \xrightarrow{\ \cong\ }\ \text{null } T$$

（存在，因为两者维数都是 $k$）。因为 $V = \text{null } S \oplus C$，我们可以在两个直和分量上分别指定 $E$ 并线性延拓：

$$E\big|_{\text{null } S} := \Theta, \qquad E\big|_C := \Phi.$$

第四步：$E$ 可逆。 $E$ 把直和分解的两块分别同构地送到 $\text{null } T$ 与 $C'$，而 $V = \text{null } T \oplus C'$，故 $E$ 是 $V$ 到自身的同构。用基来写更直观：$E$ 把 $V$ 的基

$$u_1,\dots,u_k,\ c_1,\dots,c_r$$

映成

$$\Theta u_1,\dots,\Theta u_k,\ \Phi c_1,\dots,\Phi c_r,$$

即映成 $V$ 的另一组基（前 $k$ 个是 $\text{null } T$ 的基、后 $r$ 个是 $C'$ 的基，两者拼起来是 $V$ 的基）。把基映成基 $\iff$ 可逆（习题 3.D.3），故 $E$ 可逆。

第五步：验证 $S = TE$。 两边都是 $V$ 上的线性映射，只需在基 $u_1,\dots,u_k,c_1,\dots,c_r$ 上验证。

• 对 $u_j \in \text{null } S$：$Eu_j = \Theta u_j \in \text{null } T$，故 $$T(Eu_j) = 0 = S(u_j). \quad\checkmark$$
• 对 $c_j \in C$：$Ec_j = \Phi c_j \in C'$，而按 $\Phi = (T|_{C'})^{-1}\circ(S|_C)$ 的定义， $$T(Ec_j) = T\big(\Phi c_j\big) = T\Big(\big(T|_{C'}\big)^{-1}\big(S(c_j)\big)\Big) = S(c_j),$$ 最后一个等号成立是因为 $S(c_j) \in R = \text{range}(T|_{C'})$，而对 $R$ 中的元素 $y$，$T\big((T|_{C'})^{-1}y\big) = y$。$\checkmark$

两组基上一致，故 $S = TE$。$\blacksquare$

要点：$\text{range } S = \text{range } T$ 说的是”两个映射到达同一个地方”；$S = TE$ 说的是”它们只差一次出发端的重贴标签 $E$“。定理的内容正是：到达端相同 $\iff$ 出发端可经可逆换算对齐。

证明的方法论也值得记住：把线性映射拆成”核（被抹掉的部分）$+$ 补空间（无损送达的部分）“，是 lecture 6 基本定理的标准操作。一旦拆开，问题就变成”在两个补空间之间搬运同构”，而直和分解让”拼装”变得毫无障碍。第一步中出现的等式 $\dim \text{null } S = \dim \text{null } T$ 是从 3.66 与 $\text{range } S = \text{range } T$ 直接得到的——值域相同必然导致核的维数相同。

这条习题与 3.D.6（$\text{null } S = \text{null } T \iff S = ET$，$E$ 可逆）、3.D.8（$\dim \text{null } S = \dim \text{null } T \iff S = E_2TE_1$）构成一组”不变量的三连”：值域、零空间、零空间维数，分别是 $S$ 与 $T$ 之间能经可逆变换对齐的精确障碍。

3.D.10

Suppose $V$ and $W$ are finite-dimensional and $U$ is a subspace of $V$. Let

$$\mathcal{E} = \{T \in \mathcal{L}(V, W) : U \subseteq \text{null } T\}.$$

(a) Show that $\mathcal{E}$ is a subspace of $\mathcal{L}(V, W)$.

(b) Find a formula for $\dim \mathcal{E}$ in terms of $\dim V$, $\dim W$, and $\dim U$.

Hint: Define $\Phi : \mathcal{L}(V, W) \to \mathcal{L}(U, W)$ by $\Phi(T) = T|_U$. What is $\text{null } \Phi$? What is $\text{range } \Phi$?

solution:

(a) $\mathcal{E}$ 是子空间。 用子空间判据（1.34）三条：

• $0 \in \mathcal{E}$：零映射把一切映为 $0$，故 $U \subseteq \text{null } 0 = V$。$\checkmark$
• 对加法封闭：设 $S, T \in \mathcal{E}$，即 $U \subseteq \text{null } S$ 与 $U \subseteq \text{null } T$。对任意 $u \in U$， $$(S+T)u = Su + Tu = 0 + 0 = 0,$$ 故 $u \in \text{null}(S+T)$，即 $U \subseteq \text{null}(S+T)$，$S+T \in \mathcal{E}$。$\checkmark$
• 对数乘封闭：设 $T \in \mathcal{E}$，$\lambda \in \mathbf{F}$，$u \in U$。则 $$(\lambda T)u = \lambda(Tu) = \lambda \cdot 0 = 0,$$ 故 $\lambda T \in \mathcal{E}$。$\checkmark$

因此 $\mathcal{E}$ 是 $\mathcal{L}(V,W)$ 的子空间。

(b) 维数公式。 按提示考虑

$$\Phi : \mathcal{L}(V,W) \to \mathcal{L}(U,W), \qquad \Phi(T) = T|_U.$$

• $\Phi$ 是线性映射：对 $u \in U$， $$\big(\Phi(S+T)\big)u = (S+T)u = Su + Tu = \big(\Phi(S) + \Phi(T)\big)u,$$ $$\big(\Phi(\lambda T)\big)u = (\lambda T)u = \lambda(Tu) = \big(\lambda\,\Phi(T)\big)u.$$ 两者对一切 $u \in U$ 成立，故 $\Phi(S+T) = \Phi(S)+\Phi(T)$、$\Phi(\lambda T) = \lambda\Phi(T)$。$\checkmark$
• $\text{null } \Phi = \mathcal{E}$： $$\Phi(T) = 0 \iff T|_U \text{ 是 } U \text{ 上的零映射} \iff \forall u \in U,\ Tu = 0 \iff U \subseteq \text{null } T. \quad\checkmark$$
• $\text{range } \Phi = \mathcal{L}(U,W)$：任取 $S \in \mathcal{L}(U,W)$。取 $U$ 的一组基，由基扩充定理扩充为 $V$ 的基；由线性映射引理，令 $T$ 在 $U$ 的基上照 $S$ 取值、在其余基向量上取 $0$，即得 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 满足 $T|_U = S$，于是 $\Phi(T) = S$。故 $\Phi$ 满射。$\checkmark$

由线性映射基本定理 (3.21)，

$$\dim \mathcal{L}(V,W) = \dim \text{null } \Phi + \dim \text{range } \Phi = \dim \mathcal{E} + \dim \mathcal{L}(U,W).$$

再用 3.72（$\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)$，$\dim \mathcal{L}(U,W) = (\dim U)(\dim W)$），得

$$\boxed{\ \dim \mathcal{E} = (\dim V)(\dim W) - (\dim U)(\dim W) = \big(\dim V - \dim U\big)\,(\dim W).\ }$$

要点：这是个教科书式的”同构 $+$ 基本定理”组合拳。直接计算 $\mathcal{E}$ 的基很麻烦（要数清”在 $U$ 上为零”的映射有多少自由度），但把它识别成某个线性映射的核之后，维数就被基本定理自动给出。结果也很符合直觉：限制在 $U$ 上的作用被钉死 $(\dim U)(\dim W)$ 个自由度，剩下的 $(\dim V - \dim U)(\dim W)$ 个自由度就是 $\mathcal{E}$ 的维数。用矩阵语言看：$\mathcal{E}$ 对应的正是”前 $\dim U$ 列为零”的矩阵空间——列数对应定义域方向，这也再次印证了本讲的”列 = 基向量的像”。

3.D.14

Prove or give a counterexample: If $V$ is a finite-dimensional vector space and $R, S, T \in \mathcal{L}(V)$ are such that $RST$ is surjective, then $S$ is injective.

solution:

命题成立，不需要找反例。设 $n = \dim V$。

第一步：$T$ 与 $ST$ 都满射。 注意 $RST = R \circ (ST)$，所以 $RST$ 的值域含于 $ST$ 的值域；而 $(ST)[V] = S[T[V]] \subseteq S[V]$，所以 $ST$ 的值域又含于 $T$ 的值域。于是有包含链

$$\text{range}(RST) \subseteq \text{range}(ST) \subseteq \text{range } T \subseteq V,$$

取维数即得

$$\dim \text{range}(RST) \le \dim \text{range}(ST) \le \dim \text{range } T \le \dim V = n.$$

而 $RST$ 满射给出 $\dim \text{range}(RST) = n$，故所有不等号均取等：

$$\dim \text{range } T = n \ \Longrightarrow\ \text{range } T = V,$$

即 $T$ 满射；同时 $\dim \text{range}(ST) = n$，即 $ST$ 满射。

第二步：$R$ 满射。 由 $\text{range}(RST) = V$ 得

$$R\big[ST[V]\big] = V.$$

因为 $ST$ 满射，$ST[V] = V$，故 $R[V] = V$，即 $R$ 满射。

第三步：$S$ 满射。 因为 $ST$ 满射，对任意 $w \in V$ 存在 $v \in V$ 使 $S(Tv) = w$。令 $u = Tv \in V$，则 $Su = w$，故 $w \in \text{range } S$。于是 $\text{range } S = V$，$S$ 满射。

第四步：$S$ 单射。 因为 $V$ 有限维且 $\dim V = \dim V$，由 定理 3.65，$S$ 满射 $\iff$ $S$ 单射。故 $S$ 是单射。$\blacksquare$

要点：命题的证明分两层。

• ”$RST$ 满射 $\Rightarrow$ $S$ 满射”这一层其实不需要有限维：只要 $R, S, T$ 在同一个空间上可复合，包含链 $\text{range}(RST) \subseteq \text{range}(ST) \subseteq \text{range } T$ 就已经免费给出”$RST$ 满射 $\Rightarrow$ $T$ 满射 $\Rightarrow$ $ST$ 满射 $\Rightarrow$ $S$ 满射”。这里一个维数都没用到。
• 真正需要”$V$ 有限维、$R,S,T \in \mathcal{L}(V)$“的是最后一步”满射 $\Rightarrow$ 单射”，也就是 定理 3.65。

这也解释了为什么题目必须把三个映射都取成 $V$ 上的算子：若允许它们在不同空间之间（例如 $T: U \to V$、$S: V \to W$），或在无限维空间中取后移/右移算子，命题立刻失效。“有限维同维数”这四个字是最后那一步的承重墙。

3.D.18

Show that $V$ and $\mathcal{L}(\mathbf{F}, V)$ are isomorphic vector spaces.

solution:

给出两个证明，分别对应当前这一讲的两种思想。

方法一：直接构造同构。

定义

$$\Psi : \mathcal{L}(\mathbf{F},V) \to V, \qquad \Psi(T) = T(1)$$

（在 $\mathbf{F}$ 中取定标量 $1$）。

• $\Psi$ 线性：对 $S, T \in \mathcal{L}(\mathbf{F},V)$ 与 $\lambda \in \mathbf{F}$， $$\Psi(S+T) = (S+T)(1) = S(1) + T(1) = \Psi(S) + \Psi(T),$$ $$\Psi(\lambda T) = (\lambda T)(1) = \lambda\,T(1) = \lambda\,\Psi(T). \quad\checkmark$$
• $\Psi$ 单射：设 $\Psi(T) = T(1) = 0$。对任意 $\lambda \in \mathbf{F}$，由线性性 $$T(\lambda) = T(\lambda \cdot 1) = \lambda\,T(1) = \lambda \cdot 0 = 0,$$ 故 $T$ 是零映射，$\text{null } \Psi = \{0\}$。$\checkmark$
• $\Psi$ 满射：任取 $v \in V$，定义 $T_v \in \mathcal{L}(\mathbf{F},V)$ 为 $$T_v(\lambda) = \lambda v.$$ $T_v$ 显然是线性的（它是”数乘”映射），且 $\Psi(T_v) = T_v(1) = 1 \cdot v = v$。故 $\Psi$ 满射。$\checkmark$

于是 $\Psi$ 是可逆线性映射，即同构，因此 $V$ 与 $\mathcal{L}(\mathbf{F},V)$ 同构。$\blacksquare$

方法二：维数判据（更短）。

$\dim \mathbf{F} = 1$，故由 3.72，

$$\dim \mathcal{L}(\mathbf{F},V) = (\dim \mathbf{F})(\dim V) = 1 \cdot \dim V = \dim V.$$

由 3.70，维数相同的有限维空间同构。故 $V \cong \mathcal{L}(\mathbf{F},V)$。$\blacksquare$

要点：$\mathbf{F}$ 是一维空间，所以从 $\mathbf{F}$ 出发的线性映射只被一个数（$T(1)$）唯一决定——”$\mathcal{L}(\mathbf{F},V)$ 的元素”与”$V$ 的元素”之间没有真正的信息差，同构是必然的。方法二展示了 3.70 与 3.72 的威力：不用构造任何映射，仅凭维数算术就断定同构存在。 也可以把方法二看作方法一的”存在性摘要”——它告诉你同构存在，但没告诉你它是谁。